Năm 1687, trong Principia, Newton vẽ một ngọn núi cao có khẩu đại bác trên đỉnh. Bắn yếu, viên đạn rơi gần chân núi. Bắn mạnh hơn, nó rơi xa hơn. Và Newton hỏi: nếu bắn đủ mạnh thì sao?
Câu trả lời làm nên cơ học thiên thể: viên đạn vẫn rơi — nhưng mặt đất cong đi nhanh đúng bằng tốc độ nó rơi, nên nó rơi mãi mà không bao giờ chạm đất. Quỹ đạo không phải là hết rơi. Quỹ đạo là rơi trượt mục tiêu vĩnh viễn.
Demo dưới đây là chính thí nghiệm đó, chạy bằng hằng số hấp dẫn thật của Trái Đất, phóng ngang từ độ cao 300 km. Một thanh trượt duy nhất — tốc độ — đi qua mọi số phận của viên đạn.
Bốn vùng của thanh trượt:
| Tốc độ phóng | Số phận |
|---|---|
| dưới 7,73 km/s | Rơi trở lại mặt đất |
| 7,73 km/s | Quỹ đạo tròn — tốc độ vũ trụ cấp 1 (ở độ cao này) |
| 7,73 – 10,93 km/s | Elip ngày càng dài |
| từ 10,93 km/s | Thoát hẳn — tốc độ vũ trụ cấp 2 |
Con số kiểm chứng được ngay: đặt đúng 7,73 km/s, chu kỳ hiện ra 90,4 phút — trạm ISS bay ở 400 km hết khoảng 92,9 phút mỗi vòng. Demo không “mô phỏng cho giống”; nó tích phân đúng định luật hấp dẫn, và ISS rơi ra từ phép tính.
√2 — con số nối hai tốc độ vũ trụ
Hai công thức trong sách:
v₁ = √(GM/r) (tròn)
v₂ = √(2GM/r) (thoát)Chia cho nhau, mọi thứ triệt tiêu trừ một thứ: v₂ = √2 · v₁, đúng với mọi độ cao và mọi hành tinh. Ở Trái Đất: 7,91 và 11,19 km/s tại mặt đất. Ở Mặt Trăng, sao Hỏa, một sao neutron — cặp số khác nhau, tỉ lệ vẫn là 1,414.
Nói cách khác: đã đủ nhanh để bay tròn, thì chỉ cần nhanh thêm 41,4% là đủ để đi hẳn. Khoảng cách giữa “vệ tinh” và “tàu liên hành tinh” hẹp hơn trực giác rất nhiều.
Nghịch lý: quỹ đạo càng cao, bay càng chậm
Từ v = √(GM/r), bán kính lớn hơn cho tốc độ nhỏ hơn:
| Độ cao quỹ đạo tròn | Tốc độ |
|---|---|
| 300 km | 7,73 km/s |
| 1.000 km | 7,35 km/s |
| 35.786 km (vệ tinh địa tĩnh) | 3,07 km/s |
Điều này tạo ra một nghịch lý điều khiển thật sự của ngành bay vũ trụ: muốn lên quỹ đạo cao hơn, tàu phải tăng tốc — rồi kết thúc ở trạng thái bay chậm hơn lúc đầu. Năng lượng thêm vào không thành tốc độ mà thành độ cao, và còn trả bớt cả tốc độ cũ ra. Đốt máy đẩy để rồi chậm đi là chuyện hằng ngày của người điều khiển vệ tinh, và là chỗ trực giác lái xe trên mặt đất đầu hàng.
Trường hợp biên, như thường lệ
Đường ranh v₂ là chỗ đáng nhìn kỹ. Ngay dưới nó, viên đạn vẽ một elip khổng
lồ — ở 10,5 km/s, điểm xa nhất đã hơn 73.000 km, gấp hơn chục lần bán kính
Trái Đất — nhưng vẫn là elip, vẫn quay về. Đúng tại v₂, cơ năng
E = v²/2 − GM/r chạm số 0: quỹ đạo thành parabol, viên đạn đi mãi và
“đến vô cực với vận tốc bằng không”. Trên nó một chút, hyperbol — đến vô cực mà
vẫn còn thừa tốc độ.
Toàn bộ số phận của viên đạn gói trong dấu của một con số duy nhất: E âm thì bị trói, E bằng không thì vừa vặn thoát, E dương thì tự do. Không cần nhìn quỹ đạo — dấu của cơ năng đã quyết định xong từ khoảnh khắc rời nòng.
Và một điều demo cho thấy mà công thức không nói: những cú phóng dưới tốc độ tròn cũng vẽ elip — chỉ là elip bị Trái Đất đứng chắn ngang. Đường đạn của một tên lửa đạn đạo và quỹ đạo của trạm ISS là cùng một họ đường cong, khác nhau đúng một chỗ: elip của ISS không cắt vào hành tinh.
Họ đường cong ấy có sổ cái riêng — chiếc cân Kepler đo cả hệ Mặt Trời bằng một đường thẳng log–log. Còn việc đạt được 7,9 km/s ngoài đời, thay vì trong một thí nghiệm tưởng tượng, phải trả bằng chế độ độc tài của logarit — nơi mỗi km/s thêm vào nòng súng đòi nhân đôi cả khẩu đại bác.