Ai đẩy xích đu cho trẻ con đều biết bí quyết: không cần đẩy mạnh, chỉ cần đẩy đúng lúc. Mỗi cú đẩy nhỏ cộng dồn vào chuyển động sẵn có, và biên độ lớn dần tưởng như từ hư không. Đẩy sai nhịp thì ngược lại — có lúc bạn đang hãm chính cái xích đu mình vừa đẩy.
Đường cong dưới đây là toàn bộ câu chuyện đó nén lại: biên độ ổn định của một hệ dao động (tần số riêng f₀ = 2 Hz) theo tần số của lực kích thích.
Ba vùng của đường cong:
Kích rất chậm (f → 0): hệ chỉ đơn giản đi theo lực — biên độ bằng đáp ứng với lực tĩnh, hệ số nhân ×1. Đây là mốc so sánh.
Kích đúng tần số riêng: biên độ vọt lên. Với tắt dần γ = 1,5 như mặc định, đỉnh cao gấp hơn 8 lần đẩy tĩnh — cùng một lực, chỉ khác nhịp. Kéo γ xuống 0,3 và đỉnh phóng lên hơn 40 lần.
Kích quá nhanh: hệ không kịp phản ứng, biên độ tụt về gần không. Lắc một con lắc bằng tay rung thật nhanh — nó gần như đứng im.
Trường hợp biên: tắt dần là người duy nhất giữ trần
Công thức biên độ:
A(ω) = (F/m) / √((ω₀² − ω²)² + (γω)²)Nhìn vào mẫu số tại đúng cộng hưởng ω = ω₀: ngoặc thứ nhất bằng không
tròn trĩnh, chỉ còn lại γω₀. Nghĩa là tại đúng nhịp, độ lớn của đỉnh do một
mình tắt dần quyết định — và nếu γ → 0, mẫu số → 0: biên độ không có trần.
Đây là trường hợp biên quen thuộc của site này, lần này mang hậu quả kỹ thuật nặng ký nhất: một hệ ít tắt dần bị kích đúng tần số riêng sẽ nạp năng lượng không giới hạn cho tới khi cái gì đó gãy. Ly rượu vỡ vì giọng hát đúng cao độ; cầu treo Tacoma Narrows (1940) xoắn mình rồi sập; binh lính được lệnh đi lệch nhịp khi qua cầu — tất cả cùng một mẫu số ấy.
Hệ số Q = ω₀/γ trong readout là thước đo chuyện này: Q cao nghĩa là đỉnh cao và nhọn — nhạy tuyệt vời quanh đúng một tần số, gần như điếc với mọi tần số khác. Đó là tính năng chứ không phải lỗi: mạch chọn kênh radio và cái âm thoa lên dây đàn sống nhờ Q cao. Cây cầu thì cần điều ngược lại — kỹ sư chủ động mua thêm γ bằng các khối giảm chấn, đổi độ nhạy lấy cái trần an toàn.