Mọi dao động thật đều chết dần — ma sát và sức cản rút năng lượng từng chu kỳ. Nhưng “chết dần” có ba kiểu rất khác nhau, và ranh giới giữa chúng là một trong những con số được các kỹ sư săn lùng kỹ nhất. Kéo hệ số cản qua ba vùng:

Hệ dao động tần số riêng ω₀ = 2π rad/s (1 Hz) thả từ biên. Nét đứt là bao hình e^(−γt/2). Tại γ = 2ω₀ hệ đổi tính: hết dao động, chỉ còn bò về cân bằng — ranh giới mang tên "tắt dần tới hạn".

Ba số phận của một cú nhún

Tắt dần yếu (γ nhỏ): hệ vẫn lắc qua lại, biên độ bị bọc trong bao hình e^(−γt/2) — đường nét đứt của demo. Đặc sản của vùng này: biên độ giảm nửa sau các quãng thời gian bằng nhau — người quen của chu kỳ bán rã và tụ xả RC: lại hàm mũ, lại “mỗi kỳ mất chừng ấy phần trăm của phần đang còn”.

Tắt dần mạnh (γ lớn): hết lắc — hệ bò về cân bằng không vượt qua nó lần nào. Nghe an toàn, nhưng nhìn kỹ đường cong: bò chậm, và càng tăng cản càng chậm hơn. Cửa lò xo gắn tay đòn thuỷ lực chỉnh quá tay, đóng lại mất nửa phút — đó là vùng này.

Tắt dần tới hạn (γ = 2ω₀): đúng lằn ranh — về cân bằng nhanh nhất có thể mà vẫn không nhún quá đà. Không phải thoả hiệp giữa hai cái dở; là nghiệm tối ưu thật sự của phương trình.

Điểm vàng được lắp dưới gầm xe bạn

Giảm xóc ô tô là bài toán này đúc bằng dầu và piston. Lò xo nhún của xe có ω₀ riêng; ống giảm chấn cung cấp γ. Chỉnh nó ở đâu?

  • Thiếu cản (giảm xóc mòn): qua ổ gà một cái, xe nhún thêm bốn năm nhịp — lốp nhấp nhổm khỏi mặt đường, mất bám, say xe. Đây chính là bài kiểm tra giảm xóc cổ điển: ấn mạnh góc xe rồi thả — xe tử tế nảy lên một lần rồi im; nhún tiếp tức là dầu trong ống đã cạn.
  • Thừa cản: bánh xe bị ghì cứng, gặp ổ gà không kịp nhún — cú sốc truyền thẳng lên khung, và bánh mất tiếp xúc theo kiểu khác.
  • Kỹ sư chỉnh quanh mức tới hạn (thường hơi non hơn một chút cho êm): nuốt trọn cú sốc trong một nhịp, bánh dán lại mặt đường ngay.

Cùng bài toán, khác vỏ: cửa chống sập ở hành lang, kim đồng hồ đo phải phóng tới vạch rồi đứng im không rung, hệ thống treo của cân điện tử, và cả tay ghi âm địa chấn — tất cả đều săn đúng cái lằn ranh γ = 2ω₀ ấy. Máy đo nào để kim rung qua lại là máy chưa nộp đủ γ; máy nào kim bò lề mề là nộp thừa.

Nối về hai bài cũ

Chiếc γ này chính là nhân vật phụ từng xuất hiện trong bài cộng hưởng — ở đó nó quyết định độ cao đỉnh cộng hưởng, ở đây nó quyết định tốc độ chết của dao động tự do. Hai mặt của một đồng xu: hệ tắt chậm (γ bé, Q cao) thì cộng hưởng dữ dội; hệ tắt nhanh thì lì đòn với kích thích. Chuông chùa ngân được một phút vì thế mà cũng dễ được đánh cộng hưởng; cục đất sét không ngân vì thế mà cũng không sợ ai kích. Chọn γ là chọn tính cách cho hệ — và demo trên là bảng chọn tính cách thu nhỏ.

Trường hợp biên: cản thêm mãi thì sao?

Trực giác bảo γ càng lớn hệ càng mau đứng im — sai ở nửa sau thang trượt. Quá điểm tới hạn, tăng cản làm hệ về đích chậm đi: dầu quá đặc thì piston bò như sên, cửa chống sập 30 giây mới khép, kim đồng hồ đo lết cả phút chưa tới vạch. Ở cực hạn γ → ∞ hệ… đứng im vĩnh viễn ngay chỗ nó đang đứng — “cản tuyệt đối” và “kẹt cứng” là một. Điểm tới hạn vì thế không phải mức cản nhiều nhất mà là mức cản khôn nhất: về nhanh nhất có thể mà không văng qua đích. Cái dáng bò tiệm cận ở phía quá-cản ấy chính là chiếc thang 63% của mạch RC — tụ nạp điện là một “cú nhún” đã bị cản nặng đến mức quên cả rung.