Công thức ném xiên trong sách giáo khoa sai bao nhiêu?

Công thức tầm xa của chuyển động ném xiên được dạy như một sự thật hiển nhiên:

R = v₀² · sin(2θ) / g

Từ đó suy ra ngay góc ném tối ưu là 45°, vì sin(2θ) đạt cực đại khi 2θ = 90°. Gọn gàng, đẹp đẽ, và thi cử chỉ cần đến thế.

Vấn đề là công thức này giả định vật bay trong chân không. Không khí không xuất hiện ở bất kỳ đâu trong phép suy luận.

Lực cản làm hỏng phép tính đẹp đó

Với vật bay đủ nhanh, lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương vận tốc và ngược chiều chuyển động:

F = −b·|v|·v

Dấu bình phương là chỗ mọi thứ sụp đổ. Phương trình chuyển động trở thành phi tuyến, và không có nghiệm giải tích — không tồn tại công thức đóng nào cho tầm xa. Cách duy nhất là giải số: chia thời gian thành từng bước nhỏ rồi cộng dồn.

Đó chính là thứ demo dưới đây làm. Đường nét đứt là quỹ đạo lý tưởng trong sách, đường liền là quỹ đạo tích phân số có lực cản.

Vận tốc đầu

Góc ném

Hệ số cản

Vật càng nhanh, công thức càng lệch

Quét toàn bộ góc ném để tìm tầm xa lớn nhất, với b = 0,002 m⁻¹ — cỡ một viên bi thép đường kính 2 cm, tức vật khá nặng so với tiết diện của nó:

Vận tốc đầu	Góc tối ưu	Tầm xa thực	Sách tính ra	Lệch
20 m/s	44,5°	38,4 m	40,8 m	6%
30 m/s	44,0°	80,5 m	91,7 m	12%
60 m/s	41,8°	242,0 m	367,0 m	34%
100 m/s	38,8°	445,7 m	1019,4 m	56%

Góc tối ưu tụt xuống dưới 45°. Trực giác đằng sau: bay cao thì mất thời gian trên không, mà thời gian trên không là thời gian bị lực cản bào mòn vận tốc. Nên có lực cản thì đáng đánh đổi độ cao lấy tốc độ.

Càng ném mạnh càng lệch xa. Lực cản tỉ lệ bình phương vận tốc, nên tăng tốc độ lên gấp đôi thì lực cản gấp bốn. Ở 100 m/s, tầm xa thật chỉ bằng 44% con số sách giáo khoa đưa ra.

Vật càng nhẹ, công thức càng lệch — và đây mới là chỗ đau

Hệ số cản không phải hằng số của không khí, nó phụ thuộc vào chính vật bay:

b = ½ · ρ · C_d · A / m

Diện tích cản A chia cho khối lượng m. Vật càng nhẹ so với kích thước thì b càng lớn. Viên bi thép ở bảng trên có b = 0,002. Quả bóng tennis có b ≈ 0,0175 — gấp gần chín lần.

Nên nếu bạn định lấy bảng trên mà suy ra “ném quả bóng thì sai số cỡ 12%”, con số thật tệ hơn nhiều:

Vật, ở v₀ = 30 m/s	Tầm xa thực	Sách tính ra	Lệch
Viên bi thép	80,5 m	91,7 m	12%
Quả bóng golf	67,7 m	91,7 m	26%
Quả bóng tennis	44,9 m	91,7 m	51%

Ném hết sức một quả bóng tennis, công thức trong sách nói nó bay xa gấp đôi thực tế. Đây không phải trường hợp cực đoan bịa ra — đó là quả bóng, ở tốc độ một người ném được.

Trường hợp biên: phạm vi áp dụng hẹp hơn ta tưởng

Cách nói “sách giáo khoa sai” thì giật gân nhưng không chính xác. Công thức đúng tuyệt đối trong điều kiện nó tuyên bố. Vấn đề nằm ở chỗ điều kiện đó hiếm khi được nhấn mạnh, nên học sinh mang nó ra khỏi phòng thi mà không biết ranh giới ở đâu.

Và ranh giới đó không nằm ở “có không khí hay không” — không khí thì luôn có. Nó nằm ở chỗ tốc độ ném so với vận tốc tới hạn của chính vật đó.

Vận tốc tới hạn là tốc độ rơi mà tại đó lực cản cân bằng trọng lực, v_t = √(g/b). Nó là thước đo gọn nhất cho câu hỏi “vật này bị không khí ăn hiếp đến mức nào”:

Vật	Vận tốc tới hạn
Quả bóng bàn	8,6 m/s
Quả bóng tennis	23,7 m/s
Quả bóng golf	42,9 m/s
Viên bi thép 2 cm	59,6 m/s

Quy tắc thô: ném chậm hơn nhiều so với v_t thì công thức sách dùng được; ném tới gần hoặc vượt v_t thì không. Quả bóng bàn có v_t chỉ 8,6 m/s — bạn ném kiểu gì cũng vượt, nên với nó công thức chân không vô dụng ngay từ đầu. Viên bi thép thì ngược lại, ném tay khó chạm tới 60 m/s nên công thức vẫn tạm.

Hòn đá 250 g ném 20 m/s bay được 37,0 m, sách tính 40,8 m — lệch 9%, đủ tốt cho một ước lượng thô. Quả bóng tennis cùng tốc độ thì lệch 33%, và đó là chỗ phải bỏ công thức xuống mà đi giải số.