Johannes Kepler mất gần một thập kỷ đào bới số liệu quan sát của Tycho Brahe để tìm một quy luật nối khoảng cách của hành tinh với “độ dài năm” của nó. Năm 1618, ông tìm thấy:
T² = a³ (T tính bằng năm, a bằng AU)Bình phương chu kỳ bằng lập phương bán trục lớn. Kiểm bằng dữ liệu thật:
| Hành tinh | a (AU) | T (năm) | T²/a³ |
|---|---|---|---|
| Thuỷ | 0,387 | 0,241 | 1,0021 |
| Kim | 0,723 | 0,615 | 1,0008 |
| Trái Đất | 1 | 1 | 1,0000 |
| Hoả | 1,524 | 1,881 | 0,9996 |
| Mộc | 5,203 | 11,86 | 0,9986 |
| Thổ | 9,537 | 29,45 | 0,9999 |
Sáu thế giới, khoảng cách trải gần 25 lần — cột cuối lệch nhau chưa tới hai phần nghìn.
Trên trục log–log, T² = a³ thành đường thẳng hệ số góc 3/2, và sáu chấm dữ
liệu bám nó như xâu vào chỉ. Kéo “hành tinh thử” tới đâu, luật trả về độ dài
năm ở đó — mặc định thanh trượt đặt ở vành đai tiểu hành tinh, nơi mỗi “năm”
của Ceres dài 4,6 năm của ta.
Từ mô tả thành cân
Kepler chỉ biết rằng nó đúng. Sáu mươi năm sau Newton cho biết vì sao: cân bằng hấp dẫn với chuyển động tròn cho ngay
T² = (4π²/GM) · a³— và cái hằng số “1” đẹp đẽ trong bảng trên hoá ra là khối lượng Mặt Trời đang ẩn danh. Điều này lộn ngược cách dùng định luật: đo được T và a của bất kỳ vật gì quay quanh một thiên thể, bạn cân được thiên thể đó.
Đó là chiếc cân đo được những thứ không nhét vừa phòng thí nghiệm nào: khối lượng Mặt Trời (từ quỹ đạo Trái Đất), khối lượng Trái Đất (từ Mặt Trăng), khối lượng Sao Mộc (từ bốn vệ tinh Galileo — chính bảng số liệu thu nhỏ của định luật này quanh một hành tinh khác). Và thế kỷ 20, khi các ngôi sao vành ngoài thiên hà quay nhanh hơn mức chiếc cân này cho phép với lượng vật chất nhìn thấy, phép cân Kepler–Newton trở thành chứng cứ đầu tiên của vật chất tối: không phải định luật sai, mà là có khối lượng chưa ai thấy đặt trên đĩa cân.
Số 3/2 khiêm tốn
Điều đáng dừng lại sau cùng: hệ số góc 3/2 ấy không được ai chọn. Nó rơi ra từ
định luật nghịch đảo bình phương của hấp dẫn — lực giảm theo 1/r² thì chu kỳ
buộc phải tăng theo a^1,5, không có phiên bản nào khác. Nếu một ngày ta tìm
thấy hệ hành tinh nơi đường thẳng log–log có hệ số góc khác, đó không phải
chuyện lạ của các hành tinh — đó là hấp dẫn đang vận hành khác đi. Sáu chấm
thẳng hàng trên đồ thị vì thế là một trong những bài kiểm tra 1/r² cổ nhất
và rẻ nhất còn hiệu lực: chỉ cần kính thiên văn nhỏ, đồng hồ, và vài chục năm
kiên nhẫn.
Trường hợp biên: chấm trong cùng hơi lệch hàng
Nhìn thật kỹ chấm Sao Thuỷ: nó nằm trên đường thẳng, nhưng quỹ đạo của nó xoay chậm — điểm cận nhật dịch 43 giây cung mỗi thế kỷ so với mức Newton tính được. Con số bé đến mức phải mất nửa thế kỷ 19 người ta mới đo chắc, và từng đổ oan cho một hành tinh ma tên “Vulcan”. Lời giải nằm ở tầng sâu hơn: sát Mặt Trời, hấp dẫn không còn đúng kiểu 1/r² của Newton — thuyết tương đối rộng dự đoán đúng 43 giây cung ấy, và đó là bài kiểm tra đầu tiên nó vượt qua. Chiếc cân Kepler vì thế còn là máy dò: sai lệch nhỏ ở mép trong hệ Mặt Trời hé lộ lý thuyết mới — thứ ngày nay gửi hoá đơn hằng ngày vào GPS trong túi bạn.