Bài toán va chạm một chiều có hai công thức chuẩn. Đàn hồi (giữ cả động lượng lẫn động năng):
v₁' = (m₁ − m₂)·v₁ / (m₁ + m₂)
v₂' = 2m₁·v₁ / (m₁ + m₂)Mềm hoàn toàn — hai vật dính làm một — chỉ giữ động lượng:
v' = m₁·v₁ / (m₁ + m₂)Demo dưới đây tính bằng đúng hai công thức đó rồi chiếu lại; kéo hai khối lượng và xem kết quả đổi vai.
Ba trường hợp đáng thuộc lòng
m₁ = m₂, đàn hồi: trao đổi vận tốc trọn vẹn. Xe đỏ dừng phắt tại chỗ, xe
xanh mang đi đúng 5 m/s. Đây là cú đánh billiard thẳng tâm kinh điển — bi cái
khựng lại, bi mục tiêu chạy tiếp thay nó. Công thức nói rõ tại sao: m₁ − m₂ = 0
nên v₁' = 0, không cần nhớ gì thêm.
m₂ ≫ m₁: bật ngược gần nguyên tốc độ. Cho xe đỏ 1 kg đâm khối 10 kg (hay
tưởng tượng quả bóng bàn đập vào quả bowling): nó bật lại với gần đúng −5 m/s,
còn khối nặng chỉ nhúc nhích. Giới hạn m₂ → ∞ cho v₁' → −v₁ — đó chính là
“phản xạ khỏi bức tường”, và là lý do bóng nảy khỏi tường được coi như đổi dấu
vận tốc.
m₁ ≫ m₂: xuyên qua như không. Ngược lại, vật nặng đâm vật nhẹ thì gần như
giữ nguyên vận tốc, còn vật nhẹ bị hất đi với gần gấp đôi tốc độ tới —
v₂' → 2v₁. Con số 2 này gây ngạc nhiên lần đầu gặp, và nó là nguyên lý của cú
hích trọng lực (gravity assist): tàu vũ trụ “đập đàn hồi” vào một hành tinh
đang chuyển động để được ném đi nhanh hơn.
Va chạm mềm: đếm phần động năng biến mất
Tick “va chạm mềm” với hai xe bằng nhau: cặp xe dính nhau đi tiếp với 2,5 m/s, và readout báo động năng còn 50%. Đúng một nửa biến mất — thành nhiệt, âm thanh, biến dạng — dù không có gì rời khỏi hệ.
Tỉ lệ tổng quát gọn không ngờ: phần động năng còn lại sau va chạm mềm là
m₁/(m₁+m₂). Xe 1 kg đâm khối 9 kg đứng yên: còn 10%. Chín phần mười năng
lượng cú đâm tiêu tán tại chỗ — trước khi bàn tới bất cứ chi tiết nào về vật
liệu hay hình dạng, chỉ từ hai định luật bảo toàn.
Đây là chỗ nhiều người trượt trong phòng thi: đề cho va chạm mềm mà vẫn viết phương trình bảo toàn động năng. Bảo toàn động lượng sống qua mọi va chạm; bảo toàn động năng là đặc quyền riêng của va chạm đàn hồi, và “dính nhau” là tín hiệu chắc chắn nhất rằng đặc quyền đó đã mất.
Trường hợp biên: đâm vào thứ không xê dịch
Cho m₂ → ∞ — bức tường, mặt đất — và hai kịch bản tách hẳn nhau. Đàn hồi: vật bật lại nguyên vẹn tốc độ, tường nhận động lượng nhưng nhận động năng gần bằng không (quả bóng nảy sống nhờ đây). Mềm: công thức m₁/(m₁+m₂) → 0 — toàn bộ động năng tiêu tán, và tiêu ở đâu? Ở bên duy nhất có thể biến dạng: chiếc xe. Vì không thương lượng được bao nhiêu năng lượng phải tiêu, kỹ thuật an toàn ô tô dồn hết vào tiêu như thế nào: vùng biến dạng cho khung xe chết thay người, và túi khí mua thêm một phần mười giây quý giá. Còn một mẹo ở thái cực này: nếu “bức tường” đang chạy, cú nảy đàn hồi trả lại tốc độ cộng thêm phần của tường — tàu Voyager bay ngang các hành tinh khổng lồ để “nảy” kiểu ấy, mượn mỗi hành tinh vài km/s. Cú đập không mất gì của va chạm đàn hồi, phóng lên thang thiên văn, thành vé đi miễn phí ra rìa hệ Mặt Trời.