Chuyện khó của cầu vồng không phải “vì sao có màu” — lăng kính đã kể phần đó. Chuyện khó là: giọt nước tròn xoe hắt tia nắng ra đủ mọi góc, vậy tại sao ta không thấy cả bầu trời sáng nhoè, mà thấy một vòng cung sắc nét ở đúng 42°? Kéo góc tới dọc đường cong này — câu trả lời nằm ở cái đáy:

Góc lệch của tia sáng sau một lần phản xạ trong giọt nước, vẽ cho đỏ (n = 1,331) và tím (n = 1,343). Đường cong có đáy — và đáy là nơi tia sáng "dồn toa": gần một nửa số tia đến trong vài độ quanh i ≈ 59° đều bật ra quanh cùng một góc lệch. Cầu vồng là cái đáy ấy nhìn từ xa.

Đáy của đường cong là chỗ ánh sáng tắc đường

Tia nắng vào giọt nước: khúc xạ, chạy tới mặt sau, phản xạ một lần, khúc xạ ra. Tổng góc lệch phụ thuộc chỗ tia “gõ cửa”:

D = 2i − 4r + 180°,  với sin r = sin i / n

Tia gõ chính giữa (i = 0) bật thẳng lại: D = 180°. Tia gõ sát mép lệch kiểu khác. Nhưng nhìn đường cong trong demo: D không chạy tuột — nó chạm đáy ở i ≈ 59°, D_min ≈ 138°, rồi quay đầu. Và đáy nào cũng có tính chất vàng: phẳng. Quanh i = 59°, thay đổi cả vài độ góc tới chỉ xê dịch D vài phần mười độ — mọi tia trong dải ấy bị “dồn toa” bật ra gần cùng một hướng. Các góc lệch khác mỗi góc chỉ nhận vài tia; riêng góc 138° nhận cả một đoàn. Hướng nhìn 180° − 138° = 42° tính từ điểm đối diện Mặt Trời vì thế sáng vượt trội — cầu vồng không phải “ánh sáng bị bẻ tới 42°”, mà là “chỗ duy nhất ánh sáng chen chúc đủ đông để bạn thấy”.

Vì thế cầu vồng là đường tròn quanh điểm đối nhật — máy bay nhìn xuống thấy nguyên vòng; đứng dưới đất, chân trời cắt mất nửa. Và mỗi người thấy một cầu vồng riêng vẽ quanh cái bóng đầu của chính mình — cầu vồng của bạn và của người đứng cạnh là hai vòng khác nhau, không ai chạm được vào nó vì nó không nằm ở đâu cả: nó là một hướng, không phải một vật.

Màu sắc: hai chiết suất, hai cái đáy

Nước tán sắc nhẹ — đỏ n = 1,331, tím n = 1,343 — nên mỗi màu có đáy riêng: đỏ ở 42,4°, tím ở 40,7°. Chênh 1,7° đủ tách dải màu, và cho ngay quy tắc nhớ: đỏ vành ngoài, tím vành trong. So với lăng kính tách góc chưa đầy 2°, cùng một cỡ tán sắc nhưng cầu vồng “dàn hàng” trên cả bầu trời — vì mỗi màu mang theo nguyên một cú dồn toa của nó.

Trường hợp biên: cầu vồng đôi và dải tối Alexander

Tia nào chịu hai lần phản xạ trong giọt trước khi thoát sẽ có đường cong lệch riêng, đáy riêng: quanh 51° — cầu vồng phụ, mờ hơn (mỗi lần phản xạ đều rơi rụng ánh sáng), và trật tự màu đảo ngược (tím 53,5° ngoài, đỏ 50,4° trong — thêm một lần phản xạ là thêm một lần lật). Để ý lần tới: giữa hai vòng cung, 42° đến 51°, trời tối hơn hẳn — dải tối Alexander. Không phải ảo giác: toán học vừa xem nói rằng cả cú dồn toa một-phản-xạ lẫn cú hai-phản-xạ đều không có tia nào bật vào khoảng giữa ấy. Một khoảng trời bị định lý cấm sáng — và bạn kiểm chứng được nó bằng mắt thường, miễn phí, sau mỗi cơn mưa.