Rót xong cốc cà phê thì điện thoại reo. Mười phút nữa bạn mới chạm được tới nó. Cho sữa vào ngay, hay để nguyên rồi rót lúc uống cho cà phê “đỡ nguội sớm”? Trực giác chọn vế sau, và trực giác thua đúng 2,8 °C:
Cốc nguội rò nhiệt chậm hơn cốc nóng — mẹo nằm gọn ở đó
Newton công bố định luật này năm 1701 sau khi đo một thanh sắt nung nguội dần: tốc độ mất nhiệt tỉ lệ với độ chênh giữa vật và môi trường, chứ không phải với nhiệt độ của riêng vật.
dT/dt = −(T − T_phòng)/τ → T(t) = T_phòng + (T₀ − T_phòng)·e^(−t/τ)Lại là kiểu rơi hàm mũ quen mặt, với τ là hằng số nguội — cốc sứ 200 g để trần trong phòng 22 °C có τ cỡ 22 phút.
Giờ so hai cốc ngay ở phút số 0. Cốc cà phê trần 85 °C chênh phòng 63 °C. Cốc vừa nhận 30 g sữa tủ lạnh 5 °C chỉ còn 74,6 °C, chênh 52,6 °C. Cùng chiếc cốc ấy, cùng mặt thoáng ấy, nên dòng nhiệt chảy ra tỉ lệ thẳng với hai con số kia: 39,9 W so với 33,3 W — cốc chưa pha sữa rò nhanh hơn 20%, và suốt mười phút nó ném thêm 2 738 J vào không khí căn bếp mà không có cửa nào đòi lại. Lúc bạn cầm cốc lên: rót ngay được 57,4 °C, rót sau chỉ 54,6 °C.
Cho sữa vào là mua trước bốn phút nguội
30 g sữa lạnh kéo cốc từ 85 xuống 74,6 °C — tụt 10,4 °C trong một giây. Cốc để tự nguội thì mất bao lâu mới đi hết quãng ấy? Đúng 4,0 phút.
Nên đừng nghĩ “cho sữa vào là cà phê nguội mất”. Cú tụt đó bạn phải trả dù sớm dù muộn; câu hỏi duy nhất là trả trước hay trả sau quãng mười phút rò rỉ. Trả sau nghĩa là để cốc đứng ở mức chênh cao nhất đúng lúc mỗi độ chênh đắt nhất.
Nhưng Newton chỉ trả lời được 0,8 trong 2,8 độ
Đây là chỗ dễ nói ẩu. Khoá cứng τ = 22 phút cho cả hai cốc — giả vờ rằng thêm sữa không làm cốc nặng thêm — thì thứ tự vẫn còn ăn nhau, nhưng chỉ 0,81 °C, theo một công thức gọn: (1 − e^(−t/τ))·m_sữa·(T_phòng − T_sữa)/M. Để ý nó tắt ngóm nếu sữa để sẵn ở nhiệt độ phòng.
Hai độ còn lại đến từ khối lượng. Hằng số nguội không phải đặc tính của chiếc cốc mà của cả khối nhiệt nằm trong nó: τ = m·c/(h·A). Thêm 30 g là tăng m thêm 15%, trong khi h·A gần như đứng yên — cốc mở miệng mất phần lớn nhiệt qua mặt thoáng phía trên, mà diện tích mặt thoáng không nở ra khi bạn rót thêm. τ nhảy từ 22 lên 25,3 phút. Cốc đầy hơn là cốc dày da hơn, và đó mới là phần lớn của 2,8 độ.
Cốc càng tệ, thứ tự càng đáng tiền
Đẩy thanh trượt thì quy luật lộ ra: đợi tới phút 20, khoảng cách nới thành 4,0 °C; rót 80 g sữa thay vì 30 g, thành 5,3 °C; đổi cốc sứ lấy ly giấy mỏng τ = 10 phút, thì ngay ở phút thứ 10 đã là 4,1 °C. Chiều ngược lại, bình giữ nhiệt τ = 45 phút kéo con số xuống 1,7 °C — giữ nhiệt càng giỏi, thứ tự càng vô nghĩa.
Và hai đường cong không bao giờ cắt lại nhau. Sau lúc rót, cả hai cốc chạy cùng một τ, nên hiệu số chỉ co theo hàm mũ chứ không đổi dấu: ở phút thứ 60 vẫn còn 0,4 °C. Cốc rót muộn thua vĩnh viễn, chỉ là thua ngày càng ít.
Trường hợp biên: khi bay hơi giành lấy tay lái
Tất cả đứng trên một giả định: nhiệt thoát ra tuyến tính theo ΔT. Cốc mở nắp ở 85 °C làm giả định ấy lung lay, vì phần lớn nhiệt đi ra dưới dạng hơi nước bốc lên — mỗi gram nước hoá hơi mang theo 2 300 J, và tốc độ bay hơi bám theo áp suất hơi bão hoà, thứ tăng gấp rưỡi sau mỗi 10 °C. Hạ cốc từ 85 xuống 55 °C: vế Newton yếu đi 1,9 lần, còn vế bay hơi yếu đi 3,9 lần.
Cốc thật vì thế nguội dốc hơn đường cong trong demo ở đoạn đầu rồi mới hãm lại — τ không phải hằng số mà là hàm của chính nhiệt độ, và khoảng cách 2,8 °C nở ra chứ không co lại. Đậy nắp thì kênh phi tuyến ấy bị bịt, mô hình tuyến tính đúng trở lại, và τ = 22 phút mới thật sự là một hằng số. Trớ trêu vừa đủ: bài toán chỉ sạch sẽ khi bạn làm đúng cái việc khiến nó bớt quan trọng.