Chuyện kể rằng Galileo ngồi trong nhà thờ Pisa, nhìn ngọn đèn chùm đung đưa và bấm nhịp bằng mạch đập của mình: dù vòng lắc rộng hay hẹp dần, thời gian mỗi vòng không đổi. Quan sát ấy thành công thức mọi học sinh thuộc lòng:
T = 2π·√(L/g)Không có biên độ trong công thức. Nhưng phía sau nó có một bước mà sách thường
đi lướt: phương trình con lắc chứa sin θ, và để giải đẹp người ta thay
sin θ ≈ θ. Phép thay đó là một món nợ — demo dưới đây đòi lại nó.
Món nợ được tính đến từng phần trăm
Đường cong là chu kỳ thật chia cho chu kỳ sách, tính bằng tích phân elliptic — không xấp xỉ thêm lần nào:
| Biên độ thả | Chu kỳ dài hơn sách |
|---|---|
| 5° | 0,05% |
| 30° | 1,74% |
| 60° | 7,32% |
| 90° | 18,03% |
| 150° | 76% |
| 179° | 290% |
Galileo không sai — đèn chùm nhà thờ lắc trong vùng vài độ, nơi món nợ chỉ vài phần vạn, dưới mọi khả năng đo bằng mạch đập. Nhưng “không phụ thuộc biên độ” là tính chất của phép xấp xỉ, không phải của con lắc.
Chiếc đồng hồ tự chậm dần… rồi tự đúng lại
Hệ quả từng là vấn đề kỹ nghệ nghiêm túc: đồng hồ quả lắc chạy bằng đúng hiện tượng này. Quả lắc thả rộng hơn thì mỗi nhịp dài ra — biên độ đổi 1° quanh mốc vài độ đã đủ làm đồng hồ sai vài giây mỗi ngày, con số lớn với hàng hải thế kỷ 18. Người làm đồng hồ giải bằng hai đường: giữ biên độ thật nhỏ và thật ổn định, hoặc — như Huygens — uốn hai má chặn hình cycloid ép quả lắc chạy trên đường cong đẳng thời thật sự, nơi chu kỳ không phụ thuộc biên độ một cách chính xác chứ không phải gần đúng.
Trường hợp biên: mép phải của đường cong
Kéo thanh trượt về sát 180° và nhìn đường cong dựng đứng: chu kỳ phình không giới hạn. Vật lý ở đó trong suốt: thả từ đúng 180° là đặt con lắc lộn ngược thăng bằng trên đỉnh — về nguyên tắc nó đứng đó mãi mãi, tức “chu kỳ vô hạn”. Càng gần đỉnh, con lắc càng lề mề ở đoạn cao nhất, và mỗi vòng lắc kéo dài ra tuỳ ý.
Bảng ở trên vì thế đọc như một ranh giới áp dụng
quen thuộc của site này: công thức sách là tầng một của một khai triển,
T ≈ T₀·(1 + θ₀²/16 + …), và câu hỏi đúng không phải “công thức đúng hay sai”
mà là “bao nhiêu phần trăm thì mình chấp nhận được”. Đo g trong phòng thí
nghiệm với biên độ 5°? Cứ dùng, sai số nhỏ hơn thước đo của bạn. Thả từ 60° mà
vẫn dùng? Kết quả g của bạn vừa lệch đi 15% — và không dụng cụ nào có lỗi cả.
Còn nếu gắn thêm một khớp nữa vào con lắc, mọi chuyện không chỉ lệch vài phần trăm — nó đổi hẳn thể loại: hỗn loạn.