Bốn đại lượng, một hằng số, và một dấu bằng buộc tất cả lại với nhau:
p·V = n·R·TGhim chặt một trong bốn rồi cho hai cái còn lại chạy, bạn được một định luật chất khí có tên riêng. Nhưng phương trình gốc chỉ chịu nói chuyện bằng một thang nhiệt độ duy nhất, và đó là chỗ mất điểm quen thuộc nhất của cả chương.
Cách tính từng đại lượng trong pV = nRT
Chốt một bộ đơn vị rồi dùng suốt: p bằng kPa, V bằng lít, n bằng mol, T bằng kelvin. Với bộ đó, R = 8,314 L·kPa/(mol·K).
Demo bố trí đúng vậy: n, V, T mỗi cái một thanh trượt, còn áp suất không có thanh nào — nó là hệ quả, cột đỏ bên trái tự dâng theo p = nRT/V. Một mol ở 300 K trong 24,6 L cho
p = 1 · 8,314 · 300 / 24,6 = 101,4 kPa, xấp xỉ đúng 1 atm.
Ba thao tác đáng làm, mỗi cái là một bài học riêng ở chỗ khác. Kéo V còn một nửa mà giữ T: áp suất gấp đôi, tích pV đứng yên — đó là định luật Boyle cho quá trình đẳng nhiệt. Kéo T lên gấp đôi mà giữ V: áp suất cũng gấp đôi, nhưng cái gấp đôi là kelvin — đó là quá trình đẳng tích, p/T = hằng số.
Kéo n từ 0,25 lên 3 mol: số chấm đông lên đúng theo tỉ lệ. Ba đẳng quá trình không nhắc tới n vì chúng luôn giả thiết một khối khí kín; khi đề chỉ cho hai trạng thái của cùng khối khí ấy, n và R triệt tiêu và bài rút gọn thành phương trình trạng thái p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
Hằng số R: một con số, ba bộ đơn vị
Giá trị chính tắc là R = 8,314 J/(mol·K). Vì 1 J = 1 Pa·m³ = 1 kPa·L, đúng con số ấy cũng là 8,314 L·kPa/(mol·K) — cùng một hằng số đọc bằng thước khác. Ai quen làm với atmosphere thì dùng R = 0,08205 L·atm/(mol·K).
R cũng không rơi từ trời xuống: nó là hằng số Boltzmann tính theo mol thay vì theo từng phân tử. Nhân 1,380649×10⁻²³ với số Avogadro 6,02214×10²³ được đúng 8,3145 J/(mol·K).
Số mol không cho sẵn: n = m/M
Đề hiếm khi phát thẳng n. Nó phát khối lượng, và cầu nối là n = m/M, với M là khối lượng mol. Lấy 8,0 g khí oxygen, M = 32 g/mol, nhốt trong bình 5,0 L ở 27 °C: n = 0,25 mol, T = 300,15 K, và
p = 0,25 · 8,314 · 300,15 / 5,0 = 124,8 kPa.
Hai mốc thể tích mol đáng thuộc, cùng rơi ra từ V = nRT/p với n = 1 và p = 1 atm: 22,41 L ở 0 °C và 24,46 L ở 25 °C. Chúng không phụ thuộc khí gì, vì danh tính phân tử vắng mặt hoàn toàn trong phương trình.
Cái bẫy độ C: chỗ °C thôi được phép nhân chia
Câu hỏi kinh điển là nung một bình kín từ 25 °C lên 50 °C rồi hỏi áp suất tăng mấy lần. Đáp số không phải gấp đôi mà là 8,4% — vẫn là cái bẫy đã thổi phồng áp suất lốp xe trong bài về quá trình đẳng tích.
Bài này chịu trách nhiệm phần vì sao. Celsius là thang đo lệch: số 0 của nó đặt ở điểm băng của nước, một mốc tiện cho thời tiết chứ không liên quan gì tới phân tử. T trong pV = nRT thì đóng vai thước đo động năng trung bình — thứ có số không tuyệt đối hẳn hoi, và chỉ thang bắt đầu từ đó mới cho tỉ số có nghĩa.
Cộng trừ chênh lệch thì độ C vô hại, vì một bậc Celsius bằng đúng một bậc kelvin; nhân chia tỉ lệ thì bắt buộc kelvin. Muốn áp suất bình kín ấy thật sự gấp đôi phải nhân đôi kelvin: 2 × 298,15 = 596,30 K, tức 323,15 °C. Quy tắc đáng dán lên bàn học: thấy T đứng trong phép nhân hay phép chia, đổi sang kelvin trước khi làm bất cứ việc gì khác.
Thang Kelvin: số 0 nằm ở đâu, và vì sao nằm ở đó
Phép đổi là T(K) = t(°C) + 273,15. Khác nhau duy nhất là gốc — và gốc ấy nằm ngay trong phương trình: đặt T = 0 vào pV = nRT thì p = 0 với mọi thể tích hữu hạn, tức không còn cú va đập nào vào thành bình. Kéo thanh nhiệt độ về sát 100 K mà xem, các chấm bò chậm hẳn và cột áp suất tụt theo. Số không của kelvin là số không thật của chuyển động.
Con số 273,15 cũng không phải quy ước chọn cho đẹp — nó được đo, bằng cách kéo dài một đường thẳng thực nghiệm cho tới khi chạm trục, và chuyện ấy thuộc về bài định luật Charles và độ không tuyệt đối. Cả loạt bài nằm ở Vật lý nhiệt và khí lý tưởng lớp 12.
Ba câu tự kiểm
- Bình thép 10 L chứa 64 g khí oxygen, M = 32 g/mol, ở 27 °C. Áp suất tuyệt đối bằng bao nhiêu? (n = 64/32 = 2 mol, T = 300,15 K → p = 2 · 8,314 · 300,15/10 = 499,1 kPa, tức 4,93 atm.)
- Một bạn nung khối khí kín từ 30 °C lên 60 °C rồi viết p₂ = p₁ · 60/30. Sai bao nhiêu? (Đúng phải là 333,15/303,15 = 1,099, tăng 9,9%. Phép sai cho ×2, gấp hơn mười lần mức tăng thật.)
- Một mol khí bất kỳ ở 0 °C và 1 atm chiếm bao nhiêu lít, và con số đó đổi thế nào ở 25 °C? (22,41 L, lên 24,46 L — tỉ số đúng bằng 298,15/273,15.)
Trường hợp biên: “lý tưởng” đến đâu?
Chữ “lý tưởng” trong tên là một lời thú nhận: phương trình coi phân tử là chất điểm không kích thước, không hút nhau. Không khí quanh bạn vi phạm cả hai, nhưng nhẹ tới mức ở điều kiện phòng gần như không đo ra. Ở 300 K và 1 atm, mô hình hứa 24,62 L cho một mol; kể thêm thể tích riêng và lực hút của phân tử nitơ thì được 24,61 L — lệch 0,02%.
Danh tính phân tử vắng mặt trong phương trình, nhưng ở đời thật nó ló ra một chút: cùng 300 K và 1 atm, heli cho 24,63 L còn carbon dioxide chỉ cho 24,49 L. Heli rộng hơn dự đoán vì phân tử của nó chỉ chiếm chỗ chứ gần như không hút nhau; CO₂ chật hơn vì lực hút giữa các phân tử nặng kéo chúng lại gần. Hai giả thiết bị bỏ qua đẩy sai số về hai phía.
Mô hình chỉ trượt hẳn khi nén đủ mạnh hoặc lạnh đủ sâu để phân tử chạm mặt nhau thường xuyên — mà “đủ mạnh” không có nghĩa là áp suất phải thật lớn. Nén nitơ tới 100 atm ở 300 K mới lệch chưa tới 1%, và lệch ngược phía: ở mức nén ấy thể tích riêng của phân tử đã thắng lực hút, khí chiếm chỗ rộng hơn dự đoán chứ không chật hơn. Hơi nước trong nồi áp suất chỉ khoảng 2 atm và 120 °C mà đã lệch 2,4%, vì nó nằm sát ngưỡng ngưng tụ — gần hoá lỏng mới là điều kiện phá mô hình mạnh nhất, không phải áp suất cao. Tại điểm nó gãy hẳn, khí hoá lỏng: thể tích tụt một bậc mà áp suất đứng im — hành vi pV = nRT không sinh ra được.
Còn chữ T ở mức từng phân tử là cái gì, nó là bề rộng của bảng lương tốc độ Maxwell; và khi khối khí ấy là cả bầu trời, cùng phương trình này giải thích cái túi snack phồng lên trong cabin máy bay.