Kim cương là chất cách điện tốt nhất tự nhiên từng làm ra. Silic là thứ mọi con chip trên đời được cắt ra. Hai chất xếp nguyên tử theo đúng một kiểu — cùng mạng lập phương kim cương, mỗi nguyên tử bốn liên kết chĩa ra bốn đỉnh tứ diện. Chúng khác nhau đúng một con số:
Cùng một kiểu xếp, chỉ lệch nhau tám phần mười ångström
Trong tinh thể cộng hoá trị, quỹ đạo của hai nguyên tử cạnh nhau tách làm hai mức: mức liên kết chìm xuống thành vùng hoá trị đầy ắp electron, mức phản liên kết vọt lên thành vùng dẫn trống trơn. Khoảng giữa là vùng cấm Eg — dải năng lượng không electron nào được phép mang. Nguyên tử càng sát nhau, quỹ đạo chồng lấn càng mạnh, khe tách càng rộng. (Cũng chiều cao ấy, nhìn bằng mắt thay vì bằng ampe kế, quyết định màu một con LED.)
Đó là toàn bộ khác biệt. Liên kết C–C dài 1,545 Å, liên kết Si–Si dài 2,352 Å — xa hơn 1,52 lần. Cùng hình mạng, chỉ nở ra, và khe tụt từ 5,47 eV xuống 1,12 eV. Kim loại nằm ở đầu kia của cùng dải: khe bằng không, electron tự do sẵn ở mọi nhiệt độ — chính đám electron ấy hút nhiệt khỏi tay bạn khi sờ tay nắm cửa thép.
Hàm mũ biến 4,35 eV thành 10³⁶
Dao động nhiệt thỉnh thoảng hất được một electron qua khe. Xác suất ấy là hàm Boltzmann, và mật độ hạt tải nội tại đi theo:
n_i ∝ e^(−Eg / 2kT)Ở 300 K, kT = 25,9 meV, tức 2kT = 51,7 meV. Chia 4,35 eV chênh lệch cho 51,7 meV được số mũ 84,1, và e mũ 84,1 là 3,5×10³⁶. Khe cấm gấp năm lần không cho chênh lệch gấp năm — nó cho ba mươi sáu bậc mười.
Cùng con số ấy đặt lên bàn tay: silic tinh khiết có 1,0×10¹⁰ hạt tải mỗi cm³, nghe nhiều nhưng thực ra là một electron tự do trên mỗi 5×10¹² nguyên tử. Kim cương ở cùng nhiệt độ: cỡ 10⁻²⁷ mỗi cm³. Muốn tìm trung bình một electron đã trèo qua khe, bạn cần quả cầu kim cương bán kính 4 400 km — to hơn Sao Hoả.
Cùng công thức ấy, nhìn ngang, là chiếc nhiệt kế
Giữ Eg đứng yên và kéo nhiệt độ thì hàm mũ đổi vai. Với silic quanh 300 K, nóng thêm 10 K là mật độ hạt tải nhân 2,11 lần. Hệ số điều khiển chuyện đó bằng Eg/2k = 6 499 K, trong khi hệ số cần để điện trở giảm đúng một nửa mỗi 10 độ là 6 368 K — nên câu “bán dẫn giảm nửa điện trở mỗi 10 độ” là mô tả khá chính xác của silic tinh khiết.
Nhưng nó không đúng cho mọi cảm biến. Nhiệt điện trở NTC trong bình nóng lạnh hay điều hoà làm bằng ôxít mangan–niken, hệ số B chỉ khoảng 3 435 K: nóng thêm 10 độ, điện trở còn 69%, tức −3,7% mỗi độ — chậm bằng nửa silic. Còn nồi cơm điện cơ thì không đo nhiệt độ chút nào: nó nhờ một viên nam châm quên mình là nam châm ở 103 °C.
Hai mươi phần tỉ đủ đè bẹp cả hàm mũ
Kéo thanh pha tạp trong demo lên 10¹⁵ và đường cong gãy ngang. Silic có 5,0×10²² nguyên tử mỗi cm³, nên 10¹⁵ nguyên tử phốt pho là một phần năm mươi triệu — hai mươi phần tỉ. Chừng ấy tạp chất kéo điện trở suất từ 3×10⁵ Ω·cm xuống 4,6 Ω·cm, gọn 70 000 lần.
Món quà thật không phải độ dẫn, mà là sự điếc đặc với nhiệt độ: ở 300 K silic pha tạp có 1,0×10¹⁵ hạt tải, ở 150 °C vẫn đúng 1,0×10¹⁵. Transistor nhờ vậy mới là linh kiện chứ không phải nhiệt kế. Germani thua cuộc đúng ở chỗ này — Eg = 0,67 eV cho tới 5,9×10¹³ hạt tải nhiệt ngay ở 300 K, và một vùng germani pha tạp 10¹³ đã mất quyền kiểm soát từ −6 °C.
Trường hợp biên: 150 °C, khi con chip quên mất mình được pha tạp
Nới nhiệt độ mãi thì hàm mũ đòi lại chỗ. Trong một con chip, các vùng loãng nhất chỉ pha tạp cỡ 10¹³ cm⁻³; ở 150 °C, hạt tải nhiệt của chính silic đã lên 8,9×10¹² — ngang bằng. Lớp tiếp giáp hết là tiếp giáp, dòng rò dựng đứng, và mọi tờ datasheet dừng ở 150 °C không phải vì nhựa chảy mà vì vật lý hết chỗ.
Lối thoát duy nhất là đi ngược lên trục Eg. Silic cacbua 3,26 eV chỉ có 10⁻⁸ hạt tải nhiệt mỗi cm³ ở 300 K và phải quá 1 000 °C mới quên nổi mức pha tạp 10¹⁵ — nó thăng hoa trước khi kịp quên, nên bộ nghịch lưu xe điện dùng SiC chạy 200 °C tỉnh bơ. Đẩy tiếp lên 5,47 eV là gặp lại kim cương, và nghịch lý khép vòng: đúng cái khe khiến nó vô dụng làm vật dẫn lại biến nó thành vật liệu công suất trong mơ — chịu điện trường gấp hơn 30 lần silic, tản nhiệt gấp năm lần đồng.
Vướng mỗi chuyện chưa ai pha tạp nổi nó cho ra hồn, mà thủ phạm vẫn là cái khe ấy: khe càng rộng, mức tạp chất càng bị chôn sâu. Nguyên tử bo trong silic nằm cách vùng hoá trị 0,045 eV, chưa tới hai lần kT, nên ở nhiệt độ phòng nó nhả electron gần như hết; cũng nguyên tử bo ấy trong kim cương nằm cách 0,37 eV — mười bốn lần kT, và đại đa số ngồi im. Vật liệu giữ chặt electron của mình đến thế thì cũng giữ chặt luôn món quà bạn định tặng nó.