Cặp công thức về lò xo nằm lòng của mọi học sinh:

F = k·x          (lực đàn hồi)
E = ½·k·x²       (thế năng đàn hồi)

Công thức thứ nhất hiển nhiên — kéo dài gấp đôi, lực gấp đôi, Hooke đo được từ 1678. Công thức thứ hai hay được nuốt chửng không nhai: số ½ ở đâu ra, và vì sao x lại bình phương?

Diện tích tam giác dưới đường F = kx chính là thế năng ½kx² — số ½ không phải quy ước mà là hình học: lực tăng dần từ 0, nên công là trung bình của lực nhân quãng đường.

Số ½ là một tam giác

Nhìn đồ thị F–x bên phải demo. Công nén lò xo là lực nhân quãng đường — nhưng lực không đứng yên: nó khởi đầu từ 0 và lớn dần theo kx. Năng lượng tích vào là diện tích dưới đường thẳng — một tam giác đáy x, cao kx:

E = ½ · x · (kx) = ½kx²

½ là công thức diện tích tam giác, không hơn. Một cách đọc khác: lực trung bình trong cả quá trình nén là (0 + kx)/2 — đi hết quãng x với lực trung bình ấy, ra đúng ½kx². Nếu lò xo đẩy đều kx từ đầu tới cuối (như trọng lực trong công thức mgh), năng lượng mới là kx² không chia đôi. So sánh này đáng một dòng ghi nhớ: mgh không có ½ vì g không đổi theo h; ½kx² có ½ vì F đổi theo x.

Bình phương là bản tin an toàn

Hệ quả của x²: nén sâu gấp đôi, lực chỉ gấp đôi nhưng năng lượng chờ giải phóng gấp bốn; gấp ba là gấp chín. Cảm giác tay (lực) tăng tuyến tính đánh lừa ta về mối nguy (năng lượng) tăng bình phương — lò xo nén sâu, cung kéo căng, ván nhún gập hết cỡ đều “hiền” hơn cảm nhận của cơ bắp. Cùng bản tin đó phát trên công thức động năng ½mv²: chạy xe nhanh gấp đôi là mang gấp bốn năng lượng cần tiêu khi phanh — và cùng một tam giác đứng sau cả hai số ½.

Vì sao đâu cũng thấy kx

Điều khiến Hooke phổ quát không phải lò xo thép, mà là một sự thật giải tích: mọi hố thế trơn, nhìn đủ gần đáy, đều là parabol. Khai triển Taylor quanh điểm cân bằng giết số hạng bậc nhất (đáy hố — đạo hàm bằng 0), để lại bậc hai thống trị — tức lực kéo về tuyến tính, tức Hooke. Liên kết phân tử, dây đàn rung thành sóng dừng, toà nhà lắc trong gió, mạng tinh thể truyền nhiệt — tất cả là “lò xo” theo nghĩa này, chừng nào biên độ còn nhỏ.

Trường hợp biên: chữ “còn nhỏ”

Ranh giới, như thường lệ trên site này, nằm ở chữ “còn nhỏ”: kéo lò xo thật quá giới hạn đàn hồi, đường F–x rời khỏi đường thẳng, tam giác thành hình méo — và phần diện tích vượt ngưỡng không trả lại khi buông tay: nó ở lại trong kim loại thành biến dạng vĩnh viễn. Chiếc lò xo bị kéo giãn “hết đàn hồi” chính là đồ thị Hooke gãy mà bạn cầm được trên tay.

Kỹ thuật hiện đại còn cố tình đặt hàng cái gãy ấy: vùng biến dạng trước mũi ô tô được thiết kế để vượt giới hạn đàn hồi ngay khi va chạm — diện tích năng lượng không-trả-lại chính là phần động năng mà khung xe nuốt hộ người ngồi trong, cùng một hợp đồng với túi khí: hy sinh vật liệu, kéo dài thời gian, cứu hành khách.