Vòi sen tầng ba chảy như nước mắt. Thợ nước ngó một vòng rồi phán: thay ống phi 21 lên phi 27. Sáu milimét — nghe như cái cớ để tính thêm tiền công. Nhưng lưu lượng không đi theo đường kính, cũng không đi theo tiết diện:
Vì sao là mũ bốn chứ không phải mũ hai
Lớp nước sát thành ống không chảy — nó dính vào thành, vận tốc bằng
không. Lớp kế trượt lên nó, bị độ nhớt níu lại; càng vào giữa trục càng ít
bị níu. Giải ra được biên dạng parabol v(r) = Δp·(R² − r²)/(4·η·L): vận
tốc ở tâm ống tỉ lệ với R bình phương.
Tiết diện ống cũng tỉ lệ R², nên lưu lượng — tiết diện nhân vận tốc trung bình — mang cả hai lần bình phương ấy:
Q = π·Δp·r⁴ / (8·η·L)Nới ống gấp đôi thì nước chảy gấp 16 lần. Bóp lòng ống còn 80%: 0,8⁴ = 0,4096 — còn 41%, mất 59% chỉ vì hụt một phần năm đường kính. Công thức mang tên Gotthilf Hagen và Jean Poiseuille, mà Poiseuille là bác sĩ: ông đo dòng máu chứ không đo ống nước. Chi tiết ấy là lý do công thức đúng.
Hẹp một nửa động mạch và bài kiểm tra trên máy chạy
Trong hệ tuần hoàn, tiểu động mạch rộng 30 µm và máu bò 5 mm/s: số Reynolds cỡ 0,04 — chảy tầng tuyệt đối, luật mũ bốn đúng từng chữ. Vì thế cơ thể không cần bơm mạnh hơn để chia lại máu, chỉ cần bóp nhẹ lòng mạch: co 20% đường kính là cắt 59% dòng, muốn bù lại bằng áp lực thì tim phải gắng gấp 2,4 lần.
Cùng con dao ấy quay ngược: động mạch vành hẹp 50% đường kính còn 0,5⁴ = 6% lưu lượng. Nghe như án tử, nhưng người bệnh vẫn đi chợ bình thường — mạch phía sau giãn ra bù. Chỉ khi gắng sức, nhu cầu vọt lên vài lần, khoản dự trữ ấy mới cạn: đó là lý do nghiệm pháp gắng sức bắt bệnh trên máy chạy bộ chứ không bắt trên ghế.
Trên bàn tiêm cũng luật đó. Kim 21G lòng 0,51 mm so với kim 25G lòng 0,26 mm — chưa tới gấp đôi bề ngang mà truyền nhanh hơn khoảng 15 lần. Kim nhỏ đỡ đau thật, nhưng truyền máu cấp cứu thì không ai dám nhỏ.
Nới ống ăn đứt mọi mẹo tăng áp
Trong công thức, Δp nằm ở mũ một còn r ở mũ bốn — đó là toàn bộ lời khuyên kỹ thuật, viết gọn. Muốn gấp đôi lưu lượng bằng áp lực, bạn phải gấp đôi áp lực: máy bơm, tiền điện, tiếng ồn. Muốn gấp đôi bằng đường kính, chỉ cần nới 19%, vì căn bậc bốn của 2 là 1,19.
Phi 21 lên phi 27 là nới 29% — dư sức. (Nhãn ⌀ là đường kính ngoài, nhưng bề dày thành ống chịu áp tỉ lệ thuận với đường kính, nên tỉ số lòng ống giữ nguyên tỉ số nhãn.) Còn chiều dài thì tàn nhẫn theo kiểu khác, tuyến tính: kéo ống vòng ra sau nhà cho khuất mắt, dài gấp đôi là mất một nửa.
Trường hợp biên: nước nhà bạn chưa bao giờ chảy tầng
Hagen–Poiseuille chỉ đúng khi dòng còn chảy tầng, tức số Reynolds dưới 2 300. Ống phi 21 mở 12 lít/phút: nước đi 0,58 m/s, Re ≈ 12 000. Muốn ở lại vùng chảy tầng, vòi nhà bạn phải rỉ dưới 2,3 lít/phút.
Trên ngưỡng đó ma sát đổi luật. Hệ số Blasius f = 0,3164·Re^(−1/4) ghép
vào Darcy–Weisbach cho Q ∝ Δp^(4/7)·D^(19/7) — số mũ tụt từ 4 xuống
2,71. Mọi kết luận co lại theo: bóp còn 80% đường kính chỉ mất 45%
chứ không phải 59%; phi 21 lên phi 27 cho 1,98 lần chứ không phải 2,73.
Và áp lực mất giá thảm hại — muốn gấp đôi lưu lượng giờ phải tăng áp
3,36 lần, nên nới ống lại càng thắng đậm.
Sai số tuyệt đối thì không co chút nào. Ống phi 21 dài 20 m, chênh 1 bar: công thức mũ bốn hứa 1 429 lít/phút, thực tế khoảng 68 — lệch 21 lần. Công thức đẹp nhất chương thuỷ động lực học sai hơn một bậc độ lớn với đúng cái ống sau bức tường nhà bạn.
Luật mũ bốn không sai, nó chỉ sống ở chỗ khác: trong tiểu động mạch, trong lòng kim tiêm, trong mạch gỗ của cây — nơi ống hẹp đến mức nước không đủ đà để rối. Và cái cây phải trả giá đúng bằng đồng tiền ấy: ống càng hẹp thì mao dẫn kéo nhựa lên càng cao, mà cũng chính độ hẹp đó bóp nghẹt lưu lượng theo luỹ thừa bốn. Còn ông thợ nước thì đúng — chỉ là ông đúng nhờ số mũ 2,71, không phải số mũ 4.