Bạn gọi cho bố, nhận ra giọng ông ngay từ tiếng “alô” — trầm đúng như ngồi cạnh. Nhưng kênh thoại chỉ chở dải 300–3400 Hz, còn nốt cơ bản của giọng ấy nằm ở 110 Hz: cái tần số bạn tưởng mình đang nghe chưa hề ra khỏi loa.
Hai vạch to nhất bị vứt trước tiên
Dây thanh không phát một tần số, nó phát một chuỗi: đóng mở 110 lần mỗi giây thì phổ là các vạch tại 110, 220, 330, 440 Hz… — bội nguyên của f₀, đúng cùng lý do một sợi dây đàn chỉ chịu hát vài nốt. Biên độ rơi cỡ 1/n, nên năng lượng (tỉ lệ bình phương biên độ) rơi theo 1/n²: phổ giọng nói dồn gần hết vốn vào hai vạch đầu.
Đếm trên 40 hoạ âm đầu tiên: riêng vạch 110 Hz chiếm 61,7% năng lượng, vạch 220 Hz thêm 15,4%. Kênh thoại cắt sạch cả hai vì chúng nằm dưới 300 Hz, rồi cắt nốt phần trên 3400 Hz — tổng cộng 77,6% năng lượng giọng bạn không bao giờ tới tai người nghe. Thứ còn lại là 28 vạch từ 330 đến 3300 Hz, gánh vẻn vẹn 22,4%. Vậy mà cao độ không xê dịch một cent — không phải “gần đúng”, mà đúng.
Tổng vẫn lặp lại sau đúng 9,09 ms
Lý do gói trong hai dòng:
Σ A_n · sin(2π · n · f₀ · t) lặp lại sau đúng 1/f₀
với MỌI tập hợp số nguyên n — kể cả tập không chứa n = 1Mỗi thành phần n·f₀ hoàn thành trọn vẹn đúng n chu kỳ trong khoảng thời gian 1/f₀. Sau 9,09 ms, cả 28 sóng còn sống cùng lúc quay về đúng pha cũ, nên tổng của chúng quay về đúng giá trị cũ. Bỏ vạch 110 Hz đi thì hình dạng sóng tổng đổi hẳn — kéo thanh “cắt dưới” trong demo mà xem, đỉnh nhọn lại và biên độ tụt — nhưng khoảng cách giữa các mốc lặp không nhúc nhích một pixel. Cái tai nhận được vẫn là một chuỗi xung 110 lần mỗi giây.
Tai không đo tần số thấp nhất, nó đo nhịp lặp
Ốc tai trải tần số ra theo vị trí: mỗi tần số kích riêng một chỗ trên màng đáy dài 35 mm. Khi 110 Hz biến khỏi tín hiệu thì chỗ ứng với 110 Hz không nhận được gì — thế mà bạn vẫn nghe đúng nốt La ấy.
Helmholtz đoán thủ phạm là méo phi tuyến ngay trong tai: hai vạch mạnh 330 và 440 Hz đập vào nhau đẻ ra hiệu 110 Hz thật. Thí nghiệm nghe tách hai tai bác bỏ giả thuyết ấy gọn ghẽ: đưa hoạ âm lẻ vào tai trái, hoạ âm chẵn vào tai phải — chúng không bao giờ gặp nhau trong bất kỳ ốc tai nào — người nghe vẫn báo đúng cao độ cũ. Việc ghép chu kỳ diễn ra ở não, phía sau chỗ hai tai hợp dòng, chứ không phải trong cơ học của màng đáy.
Ngành loa bán tiếng trầm mà loa không phát nổi
Đây là món quà lớn nhất sinh học tặng cho kỹ thuật âm thanh. Bước sóng của 110 Hz trong không khí là 3,1 m; một màng loa vài milimét muốn đẩy ngần ấy không khí thì phải chạy hành trình dài đến vô lý mà vẫn bức xạ cực tồi. Nên các bộ xử lý “virtual bass” không cố khuếch đại nốt trầm: chúng dò ra nó rồi tổng hợp thêm hoạ âm 2, 3, 4 ở vùng 200–600 Hz, nơi màng loa nhỏ làm việc tốt. Não người dựng lại nốt gốc miễn phí.
Thợ đàn organ nhà thờ biết mẹo này từ thế kỷ 18 và gọi là resultant: muốn nốt Đô 16,35 Hz mà không dựng nổi hàng ống 32 foot, người ta kéo đồng thời hai hàng cho 32,70 và 49,05 Hz — chênh nhau đúng 16,35. Cả nhà thờ rung lên một nốt trầm mà không ống nào phát ra.
Trường hợp biên: dịch cả chùm lên 30 Hz, cao độ chỉ nhích 7,5
Trò này đứng được nhờ các thành phần là bội nguyên của cùng một số. Phá điều kiện đó thì lộ ra não đang thật sự làm gì.
Lấy chùm 330–440–550 Hz (hoạ âm 3, 4, 5 của 110) rồi dịch cả ba lên 30 Hz: 360–470–580. Khoảng cách giữa chúng vẫn đúng 110 Hz, nhưng ước chung lớn nhất tụt xuống 10 Hz — về mặt toán học, chu kỳ chung vừa nhảy từ 9,09 ms lên 100 ms. Nếu não đi tìm ước chung, bạn phải nghe 10 Hz, tức là không nghe ra cao độ nào cả.
Cái người ta thật sự nghe là khoảng 117,5 Hz: cao hơn 110 đúng 7,5 Hz, tức 114 cent — nhỉnh hơn một nửa cung. Con số ấy là 470 chia 4. Não áp một cái lược hoạ âm lên phổ nhận được và chọn cái lược khớp nhất; vạch giữa 470 Hz rơi vào răng số 4, và cao độ báo về là 470/4. Dịch cả chùm lên ΔF thì cao độ chỉ nhích ΔF chia cho bậc của hoạ âm giữa — 30 chia 4.
Vậy nên câu trả lời không phải “tai tính ước chung”. Kênh điện thoại vứt 77,6% năng lượng mà vẫn thoát tội, chỉ vì nó chừa lại vừa đủ răng lược để câu trả lời không đổi.