Xuống hầm mỏ, cứ sâu thêm 40 mét thì đá nóng thêm 1 °C. Con số tầm thường ấy là toàn bộ chứng cứ mà William Thomson — Lord Kelvin — cần để tuyên bố tuổi của hành tinh, và để bác bỏ Darwin:
Sóng lạnh ngấm xuống theo căn bậc hai của thời gian
Mô hình của Kelvin gọn đến mức khó cãi. Một quả cầu sinh ra nóng đều ở nhiệt độ T₀, mặt ngoài phơi vào không gian lạnh, nhiệt bên trong chỉ có một đường ra: dẫn qua đá — đúng cơ chế khiến tay nắm cửa kim loại rút nhiệt khỏi da bạn. Nghiệm là hàm sai số: T(z,t) = T₀·erf( z / (2√(κt)) ). Bề dày lớp đá đã nguội không tăng theo t mà theo √t — hối hả lúc đầu rồi chậm lại mãi mãi.
Đạo hàm tại mặt đất cho thứ duy nhất đo được:
G = T₀ / √(π·κ·t) → t = (T₀/G)² / (π·κ)Thay bộ số của thế kỷ 19 — đá nóng chảy T₀ = 2 000 K, κ = 10⁻⁶ m²/s, gradient 25 °C/km — phép chia ra 64,6 triệu năm. Kelvin công bố dải 20–400 triệu năm vào 1862, tới 1897 siết còn 20–40. Tuổi thật, đọc bằng đồng vị chì trên thiên thạch Canyon Diablo năm 1956: 4,54 tỉ năm. Mô hình hụt 70 lần.
Một con số đem dùng làm vũ khí
Kelvin không tính cho vui. Darwin cần hàng trăm triệu năm cho chọn lọc tự nhiên; bản in đầu của Nguồn gốc các loài còn tự ước lượng rằng bào mòn vùng Weald mất 300 triệu năm — đoạn ấy bị gỡ khỏi các bản sau. Một hàm erf đủ để vật lý tuyên án cho cả địa chất lẫn sinh học.
Tệ hơn: đo càng kỹ, án càng nặng. Tuổi tỉ lệ nghịch với bình phương gradient. Kéo thanh trượt lên 36,5 °C/km — con số từ các mỏ than Scotland mà Kelvin tin dùng — mô hình trả về 30,3 triệu năm. Gấp đôi gradient là chia bốn tuổi. Ngược lại, muốn công thức nhả ra 4,5 tỉ năm thì hầm mỏ phải đọc được 2,98 °C/km, một độ mỗi 335 mét, nhỏ hơn thực đo 8,4 lần.
Sai lầm không nằm ở con số nào cả
Kiểm lại từng đầu vào thì lạ: κ đúng cỡ, T₀ đúng cỡ, gradient đo đúng, số học đúng. Cái sai nằm gọn trong một chữ của câu “nhiệt thoát ra bằng dẫn nhiệt”.
Manti không dẫn nhiệt là chính — nó chảy. Đưa nhiệt qua 2 890 km bề dày manti bằng dẫn nhiệt thuần cần L²/κ ≈ 265 tỉ năm, gấp 19 lần tuổi vũ trụ. Đá manti bò với tốc độ mảng kiến tạo, cỡ 5 cm mỗi năm, đi hết quãng ấy trong 58 triệu năm — nhanh hơn bốn nghìn lần. Và dòng đá nóng đi lên nạp lại nhiệt cho đáy lớp vỏ liên tục.
Nên gradient 25 °C/km không phải chiếc đồng hồ đang chạy chậm dần: nó là một trạng thái dừng. Vỏ Trái Đất được hâm từ dưới gần đúng bằng mức nó thải lên trời, nên nó dốc mãi, “trẻ” mãi. Đọc tuổi hành tinh từ đó cũng vô nghĩa như đoán ấm nước đã đun bao lâu bằng cách sờ vỏ ấm khi bếp vẫn đang bật.
Cái bếp ấy còn một vòi mà năm 1862 chưa ai biết: phóng xạ của urani, thori và kali-40 rót chừng 20 TW trong tổng 47 TW nhiệt Trái Đất thải ra hôm nay — gần nửa là do đá tự sinh, không phải di sản lúc chào đời. (Vẫn nhỏ hơn dòng nắng rót xuống 3 700 lần: lòng đất chi phối địa chất, không chi phối thời tiết.) John Perry, trợ lý cũ của chính Kelvin, chỉ ra năm 1895 rằng một lòng đất chảy được cho phép tuổi 2–3 tỉ năm. Ông không được nghe.
Trường hợp biên: cùng công thức ấy lại đúng dưới đáy biển
Hàm erf của Kelvin không sai, nó chỉ sai địa chỉ — và có một nơi đúng đến mức đẹp: thạch quyển đại dương. Đá trào lên ở sống núi giữa đại dương rồi trôi ngang, nguội từ mặt xuống bằng dẫn nhiệt thật, “tuổi” của nó là khoảng cách chia cho tốc độ tách giãn. Lớp nguội dày theo √t, nặng thêm và lún xuống cũng theo √t:
độ sâu đáy biển (m) ≈ 2 500 + 350·√(tuổi tính bằng triệu năm)Vỏ 4 triệu năm sâu 3 200 m; vỏ 80 triệu năm sâu 5 630 m. Để ý cái căn bậc hai: từ 0 lên 1 triệu năm đáy tụt 350 m, còn từ 80 lên 81 triệu năm chỉ tụt thêm 19,5 m.
Rồi đúng ở đó công thức gãy. Quá 80 triệu năm, đáy biển thôi sâu thêm và phẳng ra quanh 5,7–6 km, dù √t bảo nó phải tụt mãi. Thủ phạm vẫn là thứ đã hạ bệ Kelvin, lần này ở quy mô nhỏ: mảng già nguội đến mức nặng hơn manti bên dưới, đối lưu cỡ nhỏ khởi động và liếm nhiệt vào từ đáy. Ở đâu đối lưu chạm tới, đồng hồ dẫn nhiệt ngừng chạy — dưới Thái Bình Dương cũng như dưới chân bạn.