Đập Three Gorges dài 2 335 m, hồ nước phía sau trải dài 632 km — nhưng một mét ngang của thành đập cao 185 m chịu một lực duy nhất, con số ấy chỉ phụ thuộc vào chiều sâu nước, không hề biết hồ dài bao xa:

Áp suất nước tăng tuyến tính từ 0 ở mặt nước đến ρgH ở đáy (đơn vị Pa). Hợp lực F = ½·ρ·g·H²·b tác dụng tại H/3 từ đáy, tạo mô men lật M = F·H/3 quanh chân đập. Chiều dài hồ ảnh hưởng như thế nào tới lực này?

Áp suất nước tăng từ 0 đến ρgH

Nước có một tính chất đơn giản: nó đè lên mọi bề mặt dưới nó với một áp suất bằng trọng lượng cột nước trên đó chia cho diện tích. Ở độ sâu d mét, áp suất là p(d) = ρ·g·d, trong đó ρ = 1 000 kg/m³ (nước thường), g = 9,81 m/s², d là độ sâu tính bằng mét.

Ở mặt nước (d = 0): áp suất là 0. Xuống 10 mét: 98 kPa (bằng khí quyển). Xuống 50 mét: 490 kPa. Xuống 100 mét: 981 kPa — gấp chín lần áp suất không khí bình thường. Áp suất không nhảy từng bước; nó tăng từ từ, thẳng tuyến.

Vì thế, áp suất trên một thành đập không phải hằng số mà là một phân bố tam giác: từ 0 ở đỉnh xuống ρgH ở đáy. Muốn tính tổng lực, không thể nhân áp suất với diện tích như khi áp suất đều — phải tích phân.

Tích phân phân bố tam giác cho công thức F = ½ρgH²b

Nước đẩy một mặt đập thẳng đứng cao H mét, rộng b mét. Để tìm hợp lực, chia thành đập thành các lớp mỏng ngang cao dd. Lớp ở độ sâu d có áp suất ρgd, diện tích b·dd, nên lực trên nó là ρgd·b·dd. Tích phân từ 0 đến H:

F = ∫₀^H (ρ·g·d·b) dd = ρ·g·b·[d²/2]₀^H = ½·ρ·g·H²·b

Chính vì thế: lực chỉ phụ thuộc H bình phương, không phụ thuộc chiều dài hồ hay thể tích nước. Một mét ngang đập cao 100 m chịu F = ½ × 1 000 × 9,81 × 100² × 1 = 49,1 triệu newton, hay 5 000 tấn — con số này giống hệt dù hồ dài 200 m hay 200 km. Chiều dài hồ chỉ ảnh hưởng đến tổng thể tích nước (nhiều nước hơn) mà thế thôi; lực tác dụng lên từng mét ngang không hề quan tâm.

Điểm đặt lực không ở giữa: H/3 từ đáy

Vì áp suất lớn ở dưới, không phải phân bố đều, hợp lực không tác dụng ở trung điểm của thành đập (H/2) mà ở thấp hơn. Tính chính xác: H/3 từ đáy (hay 2H/3 từ mặt nước). Với H = 100 m, lực tác dụng ở độ cao 33,3 m từ đáy, chứ không phải 50 m.

Điều này tạo ra mô men lật quanh chân đập: M = F × (H/3) = ½ρgH³b. Với H = 100 m, mô men lật mỗi mét ngang là 1,635 tỷ newton-mét — con số khổng lồ, và nó tăng với H mũ ba, không mũ hai. Để chống lật, đập phải dày ở đáy, tạo khoảnh cân bằng như một con bê tông để mô men phản lực của trọng lượng đập đủ lớn.

Tại sao người ta xây đập kiến trúc hình chữ A

Đập không thể là tường thẳng đứng được. Đập thực tế có hình chữ A nhìn từ bên: mặt thượng lưu (tiếp xúc nước) dốc gần 50 độ, mặt hạ lưu dốc hẹp hơn. Tính toán cho thấy đập thẳng đứng cần dày H/2,4 để ổn định (chống lật); đập kiến trúc A chỉ cần dày H/3 ở đáy. Kết quả: ít bê tông hơn, chi phí thấp hơn — nhưng với H = 200 m, đáy đập vẫn cần dày 67 m, hơn 20 tầng nhà.

Sức nước còn làm việc khác. Áp suất không chỉ đẩy nước từ phía trước mà còn lên từ bên dưới — những hạt đất và nước xâm nhập qua nền đất, tạo lực đẩy lên (uplift) dưới thân đập. Thứ này đủ mạnh để nâng bê tông lên nếu không xả được — vì thế mọi đập lớn phải khoan hệ thống lỗ thoát áp dưới đáy.

Trường hợp biên: bùn silt nặng gấp 1,8 lần nước

Con số 5 000 tấn là với nước sạch. Nhưng hồ có tuổi thì bùn cát bồi lắng chân đập — bùn silt có khối lượng riêng tới 1 800 kg/m³, nặng gấp 1,8 lần nước. Thay nước vào công thức F = ½ρgH²b với ρ = 1 800: lực bồng không lên đến 9 000 tấn trên mỗi mét ngang. Hồ càng già, bùn càng dày — tải lực trên đập tăng dần. Đó là lý do các đập lớn phải thường xuyên nạo vét đáy, vừa để lấy lại dung tích lưu trữ, vừa để giảm tải lực (và lực nâng) trên nền đế. Cuối cùng, chiếc đập đổ không phải vì lực nước đẩy — nó chổng đổ vì mô men lật, vì không chịu được những cú xoay trầm trọc này lâu lâu.