Đá miếng chèn vào khe cửa rồi rút chân ra: cánh cửa ba chục kilô tì lên nó cả buổi mà không nhúc nhích. Con dao bổ vào khúc củi cũng vậy: gỗ ép hai bên lưỡi mấy trăm newton mà nó không bắn ngược ra. Ranh giới giữa “ở lại” và “văng ra” chỉ là một bất đẳng thức, và nó không thèm hỏi bạn đã đóng mạnh cỡ nào:
Bất đẳng thức không quan tâm bạn đóng mạnh cỡ nào
Vật liệu ép vuông góc vào mặt nêm một lực N. Mặt nêm nghiêng so với trục đúng nửa góc nêm, nên N có một thành phần dọc trục đẩy nêm bật ngược ra: N·sin(α/2). Chống lại nó chỉ có ma sát trượt dọc mặt nêm: μN·cos(α/2).
N·sin(α/2) < μ·N·cos(α/2) ⇔ tan(α/2) < μ ⇔ α < 2·arctan(μ)N có mặt ở cả hai vế rồi biến mất — kết luận không phụ thuộc lực đóng.
Cùng miếng chèn ấy giữ cửa gỗ 8 kg lẫn cửa chống cháy 80 kg: cửa nặng hơn ép
mạnh hơn, ma sát cũng tăng đúng theo tỉ lệ. Còn arctan(μ) là góc ma
sát, đúng góc nghiêng mà một vật bắt đầu trượt trên tấm
ván. Miếng chèn cửa một mặt
phẳng cũng ra công thức ấy, với hai góc ma sát của hai mặt cộng lại:
α < φ_sàn + φ_cửa. Thép trên gỗ, μ ≈ 0,4: ngưỡng 43,6°. Đánh
bóng cho μ tụt còn 0,15 thì ngưỡng rơi xuống 17,1°.
Nhân lực 3,80 lần — nhưng chỉ trên giấy
Nêm là đòn bẩy trá hình: đóng nêm 15° sâu thêm 1 cm, hai mặt chỉ banh ra 0,263 cm. Quãng đường ngắn đi 3,80 lần thì lực mạnh lên đúng 3,80 lần — nêm 15° nhân lực 3,80 lần. Trên giấy. Bỏ ma sát vào bài toán:
lực banh / lực đóng = (1 − μ·tan(α/2)) / (2·(tan(α/2) + μ))Với μ = 0,4, nêm 15° chỉ còn 0,89: đè vào 1 000 N thì mỗi bên gỗ nhận 890 N; chỉ nêm dưới 9,5° mới thật sự khuếch đại được lực. Hạ μ về 0,15, hệ số vọt lên 1,74 — nhưng ngưỡng tự hãm khi ấy chỉ còn 17,1° và nêm 15° đã chực bật. Cùng một μ vừa khoá nêm lại vừa ăn hết lợi thế của nó.
Vì sao rìu bổ củi cố tình để lưỡi tù
Lưỡi rìu bổ củi mở khoảng 30°, tức hệ số nhân lực chỉ 0,67 ở μ = 0,4. Rìu không phải máy nhân lực mà là máy nhận động năng: đầu 2 kg vung 15 m/s mang 225 J, trút hết trong vài mili giây — gỗ tách vì thớ chịu kéo ngang rất kém trước cú xung ấy, không vì đòn bẩy hình học.
Và 30° nằm gọn dưới 43,6°, nên rìu kẹt trong khúc củi không phải sự cố: đó là chính bất đẳng thức đang làm việc. Lực rút ra bằng (μ − tan(α/2))/(μ + tan(α/2)) lần lực đã đóng vào — rìu bổ củi 30° tốn 20%, rìu đốn cây mỏng chừng 20° tốn 39%. Lưỡi càng mảnh càng lún sâu vào vùng khoá — đừng bổ củi bằng rìu đốn cây.
Côn Morse 3° giữ mũi khoan mà không cần một con ốc nào
Chuôi côn Morse của mũi khoan máy chỉ mở khoảng 3°, nên ngưỡng ma sát nó đòi là tan(1,5°) = 0,026. Thép trượt trên thép dính dầu vẫn còn μ ≈ 0,1, cho ngưỡng 11,4° — dư gần bốn lần. Chuôi côn vì thế ghì mũi khoan chịu mô-men cắt suốt ca làm mà không cần một sợi ren; muốn tháo phải đóng một cái nêm khác vào rãnh ngang để đẩy ra.
Miếng chèn cửa cao 4 cm, dài 12 cm là góc arctan(4/12) = 18,4°. Cao su trên gỗ có μ ≈ 0,7, góc ma sát 35° — riêng mặt cao su đã thừa gánh cả hai. Nhưng vì hai góc cộng lại nên phải cả hai mặt cùng trơn mới hỏng: chèn nhựa trên nền gạch vừa lau bóng, hai phía cùng về μ = 0,15, ngưỡng còn 17,1° — thấp hơn chính góc của nó, và nó phóng đi khi bạn vừa buông tay.
Trường hợp biên: mài nhọn đến vô cùng, lực vẫn dừng ở 1/(2μ)
Cho α → 0, công thức hình học hứa hệ số nhân lực 1/(2·tan(α/2)) chạy ra vô cực. Công thức có ma sát thì dừng lại ở 1/(2μ): đúng 1,25 khi μ = 0,4, và 3,33 khi μ = 0,15. Ma sát đặt trần lên tham vọng của hình học — trong khi cùng con số μ ấy, quấn quanh cọc bích lại nhân lực theo hàm mũ.
Mà nêm thường thua trước khi chạm tới cái trần đó: lưỡi đủ mỏng để bén gần 0° sẽ oằn hoặc mẻ trước khi gỗ kịp tách — lưỡi lam dám mỏng vì nó không bao giờ phải banh cái gì, chỉ cắt đứt từng sợi. Và có một biên nữa nơi cả bài toán đổi luật: với vật liệu dẻo — bơ, đất sét, kim loại nung — nêm không tách gì cả, nó ép vật liệu chảy sang hai bên, và thứ quyết định không còn là ma sát với đường nứt mà là giới hạn chảy. Dao cắt bơ với rìu bổ củi giống nhau đúng mỗi hình dạng.