Tháng 6/1965, James McDivitt nhìn thấy tầng đẩy Titan trôi cách tàu Gemini 4 vài trăm mét. Ông đẩy ga về phía nó. Nó lùi ra xa. Ông đẩy mạnh hơn — nó lùi nhanh hơn nữa. Đốt hết một phần lớn nhiên liệu điều khiển, phi vụ bỏ cuộc:

Trái: hai quỹ đạo tròn đồng phẳng — chấm xanh là tàu mục tiêu, chấm đỏ là tàu đuổi bám sau, vòng rỗng là chỗ tàu đuổi tới sau đúng một vòng. Chênh lệch bán kính và góc bám sau đều được phóng đại cho nhìn thấy được; mọi con số trong dòng kết quả vẫn thật. Phải: khoảng cách còn lại theo số vòng đã bay. Kéo Δh sang phía dương — bay cao hơn — để thấy đường ấy đi lên: nâng quỹ đạo là tự đẩy mình ra sau.

Đạp ga trên quỹ đạo là tự bỏ mình lại phía sau

Trên cao tốc, thêm ga là thêm tốc độ. Trên quỹ đạo, thêm ga là thêm năng lượng — mà năng lượng thừa đi vào bán kính chứ không vào đồng hồ tốc độ. Cú đốt thuận chiều 1 m/s ở độ cao 400 km nâng bán trục lớn thêm 1 766 m (viễn điểm cao thêm 3 531 m) và kéo dài chu kỳ 2,17 giây. Nhân hai giây ấy với 7,673 km/s: mỗi vòng, mục tiêu bỏ bạn lại 16,6 km. Tốc độ quỹ đạo là hàm của bán kính chứ không của chân ga — lên cao là chậm lại.

Muốn tới gần thì phải xuống thấp

Đảo dấu là xong. Hạ tàu đuổi 1 km bằng hai cú đốt Hohmann, mỗi cú 0,283 m/s — tổng 0,567 m/s, ít hơn một cái hắt hơi — và chu kỳ tụt từ 5 544,9 s xuống 5 543,6 s. Chênh 1,228 giây, nhân với 7,673 km/s: mỗi vòng bạn gặm được 9,42 km. Cả chiến thuật nằm gọn trong dòng Kepler viết từ 1619:

T = 2π·√(r³/μ)   →   ΔT/T = (3/2)·Δr/r

Con số 3π mà không giáo trình nào chịu in đậm

Nhân vận tốc quỹ đạo với chênh lệch chu kỳ thì μ, bán kính và độ cao triệt tiêu sạch, chỉ còn lại:

rút ngắn mỗi vòng = 3π · Δh  ≈  9,42 km cho mỗi km hạ thấp

Kéo thanh trượt độ cao mục tiêu từ 300 lên 800 km mà xem: chu kỳ nhảy từ 5 422,5 s lên 6 043,4 s, vận tốc tụt từ 7,730 xuống 7,456 km/s, còn 9,424 km mỗi vòng đứng im tới bốn chữ số. Viết theo nhiên liệu, cùng hằng số ấy thành Δs = 3·T·Δv: ở 400 km là 16,6 km mỗi vòng cho mỗi m/s — đúng con số mà cú đạp ga phía trên làm bạn mất. Ga và phanh là một công tắc, khác dấu; mà Δv là thứ đắt nhất trên tàu.

Vì sao Soyuz từng mất hai ngày cho một trăm cây số cuối

Từ đó ra cả lịch bay. Còn 100 km mà chỉ dám hạ 1 km: 10,6 vòng, 16,3 giờ. Chi 5,67 m/s để hạ 10 km: 1,1 vòng, 1,6 giờ. Nhưng thứ đắt hơn nhiên liệu là góc pha lúc phóng. Hồ sơ Soyuz cổ điển ghép nối sau khoảng 34 vòng, hơn 52 giờ — tên lửa thả tàu vào một góc pha bất kỳ trong khoảng rộng rồi để chênh lệch chu kỳ gặm dần. Hồ sơ nhanh ngày nay: 2 vòng, 3 giờ 3 phút — không nhờ động cơ mới nào, chỉ nhờ đồng hồ phóng canh tới từng giây và máy tính trên tàu tự dựng phương án.

Trường hợp biên: ba trăm mét cuối, trực giác đảo thêm lần nữa

Áp 3π vào khoảng cách 300 m: đóng nó trong một vòng đòi hạ đúng 32 mét, chênh chu kỳ 0,039 giây — không hệ đẩy nào canh nổi. Ở cự ly ấy bài toán đổi khung: chuyển động tương đối trong hệ quay theo mục tiêu, phương trình Clohessy–Wiltshire. Trong khung đó, cú đẩy thẳng về phía mục tiêu vẽ một vòng lượn — dâng lên tối đa 4Δv/n rồi rơi về đúng bán kính cũ sau một chu kỳ, nhưng ở phía sau 6π·Δv/n, mà ở 400 km bằng 16 635 m: lại đúng con số 3T. Đó là thứ đã ăn hết nhiên liệu của McDivitt. Lối ra là cú đẩy vuông góc: xung 0,1 m/s hướng xuống Trái Đất dìm bạn xuống nhiều nhất 88 m, nhưng thứ nó thật sự làm là đẩy bạn tiến lên 353 m sau nửa vòng (46 phút); hết một vòng thì cả bán kính lẫn vị trí đều trở về đúng chỗ xuất phát nếu bạn buông tay. Quỹ đạo tương đối khép kín ấy là lý do khâu áp sát cuối thường được lập trình bằng những xung nhỏ vuông góc chứ không bằng chân ga: lỡ tay thì không đâm vào ai, cứ thả trôi là tự quay về. Aldrin bảo vệ luận án tiến sĩ MIT năm 1963 về đúng bài toán này; hai năm sau, McDivitt học lại nó bằng nhiên liệu.