Tàu thăm dò rời bệ phóng ở Florida, nhưng nó không bay về phía Sao Hoả. Nó bay về phía chỗ Sao Hoả sẽ có mặt tám tháng rưỡi sau — và nếu hôm ấy hành tinh đỏ không đứng đúng chỗ trên bầu trời, cả chuyến bay phải hoãn hơn hai năm:

Nhìn hệ Mặt Trời từ trên xuống. Hai vòng tròn mảnh là quỹ đạo xuất phát và quỹ đạo đích; đường xanh đậm là nửa ellipse Hohmann chạm cả hai. Chấm đặc là vị trí hai hành tinh lúc phóng, chấm mờ là lúc tàu tới nơi, nét đứt đỏ là quãng đường hành tinh đích đi trong thời gian đó. Cung ở tâm là góc pha khởi hành — cả chuyến bay chỉ là hai lần đốt, còn lại là rơi tự do.

Nửa ellipse chạm cả hai vòng tròn

Walter Hohmann, kỹ sư xây dựng ở Essen, tính ra năm 1925 — 32 năm trước Sputnik — rằng đường nối hai quỹ đạo tròn tốn ít nhiên liệu nhất là một ellipse chạm cả hai: cận nhật nằm trên quỹ đạo Trái Đất, viễn nhật nằm trên quỹ đạo Sao Hoả. Bán trục lớn của nó chỉ là trung bình cộng, và chu kỳ Kepler của chính ellipse ấy — 1,417 năm — cho thời gian bay là đúng một nửa:

a_t = (r₁ + r₂)/2 = (1 + 1,524)/2 = 1,262 AU
t   = π·√(a_t³/GM) = 259 ngày

Cả chuyến chỉ có hai lần đốt. Đang trôi cùng Trái Đất ở 29,78 km/s, bạn đốt thêm 2,94 km/s cho thành 32,73 km/s — thế là đủ để rơi ra tới tận quỹ đạo Sao Hoả. Rồi tắt máy 259 ngày. Tới nơi, tàu chỉ còn 21,48 km/s, tức chậm hơn Sao Hoả đang chạy 24,13 km/s: leo cao trong giếng hấp dẫn thì phải chậm lại, đúng cái nghịch lý khiến phi công muốn đuổi kịp lại phải phanh. Lần đốt thứ hai, 2,65 km/s, chỉ để bắt kịp hành tinh đang tiến tới từ phía sau lưng. Tổng hoá đơn: 5,59 km/s.

Bạn nhắm vào chỗ hẹn, không nhắm vào hành tinh

Điểm tới của nửa ellipse nằm đối diện điểm phóng — lệch đúng 180° quanh Mặt Trời. Nhưng trong 259 ngày ấy Sao Hoả chậm chạp chỉ kịp quét 135,7° trên quỹ đạo của nó (Trái Đất trong cùng thời gian quét 255,0°). Vậy vào giây bạn rời bệ, hành tinh đỏ phải đang đứng ở 180 − 135,7 = 44,3° phía trước Trái Đất — không hề “thẳng hàng” như trực giác mách. Nhắm vào chính Sao Hoả lúc phóng là cách chắc chắn nhất để bay tới một chỗ trống.

Cửa sổ 25,6 tháng và cái giá của việc lỡ hẹn

Dáng đứng 44,3° ấy không phải muốn có là có. Trái Đất chạy nhanh hơn nên mỗi vòng lại ăn thêm của Sao Hoả một khoảng góc, và phải mất trọn chu kỳ giao hội 1/S = 1/T₁ − 1/T₂ — 25,6 tháng — hai hành tinh mới trở lại đúng hình dạng cũ.

Trên thực tế cửa sổ rộng khoảng ba tuần: chịu tốn thêm Δv thì lệch vài độ vẫn tới được. Perseverance rời bệ ngày 30/7/2020, hạn chót cửa sổ là 15/8. Qua đó là hết — lần kế tiếp năm 2022. Vì thế lịch của một chương trình Sao Hoả không do cơ quan vũ trụ đặt mà do cơ học thiên thể đặt: một chiếc dù hãm giao trễ sáu tuần không làm chậm dự án sáu tuần, nó làm chậm 26 tháng.

Cũng vì thế mà không tàu nào bay Hohmann thuần: Curiosity mất 254 ngày, Perseverance chỉ 203. Họ mua thời gian bằng nhiên liệu — thứ đắt theo hàm logarit, nên mua được rất ít.

Trường hợp biên: khi Hohmann thôi là đường rẻ nhất

Kéo thanh trượt về 0,723 AU và mọi dấu lộn ngược: đi Sao Kim thì góc pha là −54,0° — phải phóng khi Sao Kim còn ở sau Trái Đất, và cả hai lần đốt đều ngược chiều bay để hạ quỹ đạo thay vì nâng. Cửa sổ Sao Kim lặp mỗi 19,2 tháng, thưa hơn Sao Hoả.

Kéo ra phía ngoài thì công thức tự phản bội mình. Khi tỉ số bán kính vượt 11,94, một đường ba lần đốt vòng qua tận vô cực lại tốn ít Δv hơn nửa ellipse Hohmann: lên thật cao thì tàu bò chậm tới mức bẻ hướng gần như miễn phí. Với Sao Hải Vương (tỉ số 30,1) Hohmann hết tối ưu — dù ngoài đời chẳng ai bay đường nào trong hai đường ấy: người ta đi mượn tốc độ của hành tinh khác.

Và vết nứt lớn nhất nằm ngay tại Sao Hoả: quỹ đạo nó không tròn, e = 0,0934, cận nhật 1,381 AU còn viễn nhật 1,666 AU. Cửa sổ nào có điểm hẹn rơi vào phía gần Mặt Trời thì Δv tối thiểu chỉ 4,41 km/s; cửa sổ xui thì 6,60 — gấp rưỡi. Cùng đích đến, cùng công thức, hai chuyến chênh nhau nguyên một tầng tên lửa, chỉ vì hành tinh đỏ vẽ ellipse chứ không chịu vẽ vòng tròn.