Mở chồng ảnh Landsat chụp cùng một mảnh rừng suốt hai mươi năm: bóng cây luôn đổ về cùng một phía, dài gần như nhau, tháng Giêng cũng như tháng Bảy. Không phần mềm nào chỉnh việc đó — nó được mua bằng một góc nghiêng lớn hơn 90 độ:
Trái Đất phình bụng, và quỹ đạo bị xoắn
Trái Đất quay nên xích đạo phình ra: bán kính 6 378,1 km ở xích đạo so với 6 356,8 km ở cực, chênh 21,4 km. Vành thịt thừa ấy lệch khỏi mặt phẳng của quỹ đạo nghiêng và kéo vệ tinh về phía xích đạo mỗi lần nó lên vĩ độ cao. Hệ số đo độ phình, J2 = 1,083×10⁻³, bé tí nhưng là nhiễu loạn lớn nhất mọi quỹ đạo thấp phải sống chung.
Mô men lực ấy vuông góc với mô men động lượng, nên gây đúng cái mà bánh xe hồi chuyển làm khi bị treo lệch trục: không đổ, mà tuế sai — cả mặt phẳng quỹ đạo xoay chậm quanh trục Trái Đất.
dΩ/dt = −(3/2)·J2·(R/a)²·n·cos iTrạm ISS (420 km, nghiêng 51,6°) tuế sai −4,95 °/ngày, quét trọn vòng trong 72,7 ngày — lý do trạm bay qua nhà bạn vài đêm liền rồi biệt tăm hàng tháng.
Một lỗi được trả lương: 0,9856 độ mỗi ngày
Với vệ tinh quan trắc, tuế sai là tai hoạ — trừ khi nó chạy đúng nhịp. Mỗi năm Mặt Trời trôi trọn 360° trên nền sao: 360/365,2422 = 0,9856 °/ngày. Cho quỹ đạo xoay đúng chừng ấy, cùng chiều, thì góc giữa nó và hướng Mặt Trời đứng yên vĩnh viễn — vệ tinh cắt xích đạo vào cùng một giờ địa phương, năm này qua năm khác. Đặt hai vế bằng nhau rồi giải theo góc nghiêng:
cos i = −2·ω_S·a^3,5 / (3·J2·R²·√(GM))Ở 700 km vế phải ra −0,142, và dấu trừ là toàn bộ câu chuyện: cosin âm nghĩa là i > 90°, quỹ đạo bắt buộc nghịch hành — nghiêng 98,19°, bay ngược chiều Trái Đất tự quay. Với i nhỏ hơn 90° nút trôi về phía tây, sai dấu; chỉ quỹ đạo đi ngược mới đẩy nút về phía đông. Công thức đòi 98,21° ở 705 km và 98,70° ở 824 km — hồ sơ phóng của Landsat 9 ghi 98,2°, của Suomi NPP ghi 98,7°.
Vì sao mọi tấm ảnh có cùng một bóng đổ
Sentinel-2 cắt xích đạo theo chiều bắc–nam lúc 10 giờ 30 sáng giờ địa phương, mọi vòng, mọi năm. Ở 700 km, một vòng mất 98,8 phút với tốc độ 7,50 km/s — 14,58 vòng mỗi ngày — và mỗi lần trở lại xích đạo, hành tinh đã xoay thêm 24,7° dưới chân nó: vệt quét dịch 2 750 km về phía tây, vài ngày là phủ kín địa cầu, chỗ nào cũng chụp lúc 10 giờ 30.
Vì sao không phải giữa trưa? Mặt Trời dựng đứng thì bóng biến mất, ảnh mất hết chiều sâu địa hình; 10 giờ 30 giữ bóng đủ dài để đọc sườn dốc, đủ sớm để mây đối lưu buổi chiều chưa kịp mọc. Nhờ vậy so hai tấm ảnh cách nhau mười năm mới có nghĩa: rừng thưa đi thật, không phải Mặt Trời hôm ấy thấp hơn. Đổi giờ là đổi nhiệm vụ — quỹ đạo “bình minh–hoàng hôn” cắt xích đạo lúc 6 giờ, bay dọc ranh giới ngày–đêm nên pin phơi nắng gần như không nghỉ: đúng thứ radar ngốn điện của Sentinel-1 cần.
Lệch một độ, ảnh trôi ba tiếng
Ở 700 km, sai 1° góc nghiêng làm tuế sai đổi 0,120 °/ngày. Cộng dồn: 1,45 giờ sau nửa năm, 2,91 giờ mỗi năm — ba năm là “ảnh 10 giờ 30” thành ảnh chiều muộn. Sửa thì đắt: đổi góc nghiêng là thao tác tốn nhiên liệu nhất trên quỹ đạo, khác hẳn trò lên xuống độ cao vốn rẻ như cho.
Kéo thanh trượt về đúng 90° — quỹ đạo cực hoàn hảo — và tuế sai bằng 0: mặt phẳng đứng yên trong không gian, còn Mặt Trời thì không. Sau nửa năm khe hở là 12 giờ tròn: vệ tinh ban ngày thành vệ tinh ban đêm, camera quang học chụp toàn bóng tối.
Trường hợp biên: trên 5 974 km thì không góc nào cứu nổi
Vế phải tăng theo a^3,5, còn cosin bị nhốt giữa −1 và 1. Giải cho cos i = −1 được a = 12 352 km, tức độ cao 5 974 km: cao hơn thế thì cái bụng phình 21,4 km không đủ mô men xoay quỹ đạo cho kịp nhịp 0,9856 °/ngày, và đồng bộ Mặt Trời không còn tồn tại. Mà ngay tại ngưỡng, nghiệm đã tự phản bội: i = 180° là quỹ đạo xích đạo chạy ngược, không bao giờ rời vĩ độ 0 — quỹ đạo cuối cùng còn đồng bộ được thì lại không nhìn thấy cực nào.
Cùng cái phình ấy đối xử với tàu khác kém tử tế hơn: nó còn làm điểm cận địa của quỹ đạo elip trôi đi, nên vệ tinh Molniya buộc phải nằm ở 63,43°, nơi số hạng (5·cos²i − 1) triệt tiêu. J2 không thiên vị ai: hoặc bạn giải phương trình của nó, hoặc bạn đốt nhiên liệu chống nó tới ngày cạn bình.