Ném quả bóng tennis vào bức tường, nó bật lại đúng bằng tốc độ ném. Ném vào đầu xe tải đang lao tới, nó bật lại nhanh hơn hẳn — mà xe tải không chậm đi chút nào bạn đo được. Tàu vũ trụ mượn tốc độ của hành tinh bằng đúng trò ấy, chỉ thay bức tường bằng hấp dẫn:

Trái: quỹ đạo hyperbol trong khung của hành tinh — tàu vào và ra cùng một tốc độ v∞, chỉ bị bẻ hướng một góc δ giữa hai đường tiệm cận. Phải: tam giác vectơ vận tốc nhìn từ Mặt Trời. Hai vectơ v∞ dài bằng nhau nên cùng nằm trên vòng tròn đứt nét quanh mũi vectơ vận tốc hành tinh; xoay nó đi δ là đủ kéo dài vectơ nhật tâm. Đoạn đỏ Δv chính là khoản lãi, lấy trong hình học tiếp cận có lợi nhất.

Trong khung của hành tinh, bạn không lãi lấy một mét trên giây

Đứng trên Sao Mộc mà nhìn, cú bay ngang sòng phẳng đến phát chán: tàu rơi vào giếng thế, đổi thế năng lấy tốc độ, rồi leo ngược ra và trả lại đúng khoản vừa vay. Tốc độ lúc vào và lúc ra bằng nhau tuyệt đối — cùng một giá trị v∞. Thứ duy nhất thay đổi là hướng, và hướng thì không có giá.

Góc bẻ δ giữa hai đường tiệm cận của nhánh hyperbol chỉ phụ thuộc hai thứ: tàu đi nhanh cỡ nào và nó sà xuống sát cỡ nào.

sin(δ/2) = 1 / (1 + r_p·v∞² / GM)

Với v∞ = 10 km/s, sà xuống cận điểm cách tâm Sao Mộc 2 bán kính, hyperbol bẻ tàu 127,9° — gần như quay đầu. Cùng tốc độ ấy, cùng 2 bán kính, mà là Trái Đất thì chỉ được 27,6°: khối lượng Sao Mộc gấp 318 lần, nên cái móc của nó khoẻ hơn hẳn. Kéo cận điểm ra xa thì góc tụt chậm hơn bạn tưởng: ở 7,34 bán kính (525 000 km) vẫn đúng 90°, ở 20 bán kính vẫn còn 56°.

Cái lãi nằm ở chỗ hành tinh không đứng yên

Chuyển sang khung Mặt Trời thì mọi thứ lật: vận tốc nhật tâm của tàu là vận tốc hành tinh cộng vectơ v∞. Hai vectơ v∞ vào và ra dài bằng nhau nên cùng nằm trên một vòng tròn quanh mũi vectơ hành tinh — bảng phải của demo vẽ đúng vòng đó. Xoay một vectơ trên vòng tròn không đổi độ dài của nó, nhưng đổi độ dài của tổng. Đấy là toàn bộ mánh khoé.

Độ dài đoạn đỏ nối hai mũi vectơ là khoản chênh, và nó có công thức gọn: Δv = 2·v∞·sin(δ/2) — với cú bay ngang ở trên là 17,97 km/s. Trong hình học tiếp cận có lợi nhất, con tàu đi vào với 3,3 km/s so với Mặt Trời và đi ra với 21,3 km/s. Bay vòng sau lưng hành tinh thì lãi, bay cắt mặt trước thì lỗ đúng bằng chừng ấy — cùng một hình vẽ, đổi dấu.

Để thấy 17,97 km/s ấy đắt thế nào, hãy đi mua nó bằng nhiên liệu. Tầng hydro–ôxy tốt nhất phun khí ra 4,41 km/s, và phương trình tên lửa tính tiền theo hàm mũ: bạn phải đốt 59 kg tầng đẩy đầy ắp cho mỗi kilôgam đưa tới đích. Sao Mộc cho không khoản đó, đổi lại chỉ đòi bạn có mặt đúng chỗ đúng ngày.

Sao Mộc trả tiền, và không cách nào biết mình vừa trả

Không có bữa trưa miễn phí: động lượng phải cân. Con tàu 800 kg lãi 17,97 km/s thì Sao Mộc phải chậm đi đúng phần đối ứng — chia cho khối lượng 1,90×10²⁷ kg, ra 7,6×10⁻²¹ m/s. Với mức hụt ấy, Sao Mộc cần 4,2 tỉ năm để tụt lại đúng một milimét trên quỹ đạo của mình.

Đó là cuốn sổ mà Mặt Trăng vẫn rút của vòng quay Trái Đất, chỉ khác tỉ lệ khối lượng: bên kia đủ lớn để san hô kỷ Devon chép lại, bên này nhỏ hơn mọi phép đo loài người từng nghĩ ra.

Trần cứng: hai lần tốc độ hành tinh, không hơn một mét

Vòng tròn v∞ cũng đặt ra giới hạn. Tốc độ nhật tâm của tàu luôn nằm giữa |v_hành tinh − v∞| và v_hành tinh + v∞, nên khoản lãi lớn nhất mà một lần bay ngang có thể sinh ra là 2 lần giá trị nhỏ hơn trong hai số ấy — với Sao Mộc, tuyệt đối không quá 2 × 13,06 = 26,12 km/s. Cú bay ngang tốt nhất còn khả thi (sượt 1,05 bán kính, và v∞ đúng bằng 13,06 km/s — tàu tiếp cận nhanh y hệt tốc độ hành tinh) lấy được 23,7 km/s, tức 91% của trần.

Trần đó là lý do mọi chuyến liên hành tinh đều xếp lịch tham lam như nhau: mượn Trái Đất, mượn Sao Kim, rồi mới dám hẹn Sao Mộc — mỗi lần là một lần đổi tốc độ lấy khoảng cách trong sổ của Mặt Trời.

Trường hợp biên: khi trợ lực chạy ngược, để phanh vào Mặt Trời

Công thức hỏng theo hai kiểu. Sà quá sát: δ đẹp, nhưng dưới 1 bán kính là khí quyển và vành đai bức xạ Sao Mộc, nơi liều xạ giết điện tử trước khi giết người. Đi quá nhanh: v∞ lớn thì e lớn và δ → 0 — với một con tàu đủ nhanh, mọi trợ lực hấp dẫn đều tắt về không.

Nhưng lối thoát thú vị nhất là đảo dấu. Parker Solar Probe không cần nhanh, nó cần rơi: muốn tới sát Mặt Trời thì phải vứt bỏ chính 29,8 km/s mà Trái Đất tặng nó lúc phóng. Nên nó bay cắt mặt trước Sao Kim bảy lần liên tiếp, mỗi lần tự phanh một khoản, hạ dần cận nhật xuống 6,9 triệu km. Nghịch lý đúng chất quỹ đạo: chính chuỗi phanh ấy làm nó thành vật thể nhân tạo nhanh nhất lịch sử — 192 km/s ở điểm sát Mặt Trời, nơi nó rơi trở lại đúng khoản đã tiêu.