Vận tốc thoát ly của Trái Đất là 11,2 km/s — con số nghe như một bức tường. Trên hòn đá bán kính một cây số ngoài vành đai tiểu hành tinh, bức tường ấy hạ xuống còn 1,06 mét mỗi giây: chậm hơn bước bạn đi ra đầu ngõ.
Vì sao bức tường sụp nhanh đến thế
v_thoát = √(2GM/R) có R dưới mẫu, nên trực giác bảo thiên thể càng nhỏ
càng khó thoát. Trực giác nhầm, vì M không độc lập với R: hòn đá mật độ ρ
có khối lượng (4/3)πρR³. Thay vào:
v_thoát = R · √(8πGρ/3)R nhảy lên tử số. Vận tốc thoát ly tỉ lệ thuận với bán kính, hệ số tỉ lệ chỉ phụ thuộc mật độ — với ρ = 2 000 kg/m³, mật độ điển hình của một đống đá vụn dính nhau bằng hấp dẫn, hệ số ấy là 1,06 m/s mỗi kilômét bán kính. Cùng dòng đại số ấy cho Trái Đất (ρ = 5 514, R = 6 371 km) ra 11,19 km/s, đúng con số sách giáo khoa.
Cái thang ấy có thật: Bennu (bán kính 245 m) thoát ở 0,20 m/s, Ryugu (448 m) ở 0,37, sao chổi 67P ở khoảng 1, Phobos (11,1 km) ở 11,4, còn Ceres (470 km) đã lên 510 m/s. Người đi bộ đạt 1,4 m/s — đủ rời vĩnh viễn khỏi mọi thiên thể mật độ 2 000 có bán kính dưới 1,32 km.
Bạn mất chỗ bám trước cả khi kịp thoát ly
Đi bộ cần ma sát, ma sát cần áp lực pháp tuyến, mà áp lực ấy là
N = m(g − v²/R): đi vòng quanh một quả cầu thì lực ly tâm ăn dần vào
trọng lượng của chính bạn. N về 0 khi v = √(gR) — đúng vận tốc quỹ đạo sát
bề mặt, 0,748 m/s trên hòn đá 1 km. Giới hạn thật vì thế không phải
1,06 mà là 0,75 m/s: tốc độ lê chân của người vừa đi vừa nhìn điện thoại.
Khoảng hẹp giữa 0,75 và 1,06 là vùng kỳ lạ nhất: bạn không rơi xuống, cũng không đi mất, mà thành vệ tinh của chính hòn đá vừa đứng lên — đường vàng khép kín trong demo.
Cú nhảy tại chỗ còn dễ hơn cú đi bộ
Bật nhảy nâng trọng tâm khoảng 0,5 m — phần bật thật sự của người không tập luyện — đòi tốc độ rời đất 3,13 m/s, vượt vận tốc thoát ly của mọi thiên thể ρ = 2 000 bán kính dưới 2,96 km. Trên phần lớn tiểu hành tinh có tên, một cú nhún chân là chuyến đi một chiều.
Tháng 11/2014, tàu Philae hạ xuống sao chổi 67P với mũi lao neo không chịu bắn; nó nảy lên, trôi 1 giờ 51 phút rồi chạm lại cách chỗ cũ chừng một cây số — thiếu chút nữa thì vượt ngưỡng 1 m/s và đi luôn. Trên Phobos, 3,13 m/s chưa đủ thoát nhưng vẫn ném bạn lên 844 m và giữ trên không 18 phút.
Chu kỳ 140 phút không quan tâm hòn đá to bằng nào
Lấy T = 2π√(R³/GM) rồi thay M = (4/3)πρR³ lần nữa:
T = √(3π / Gρ)R triệt tiêu sạch: chu kỳ một vòng sát bề mặt chỉ phụ thuộc mật độ. 140 phút ở ρ = 2 000; Bennu và Ryugu cùng mật độ 1 190 kg/m³ nên dù Ryugu rộng gấp 1,83 lần, cả hai chung đúng con số 182 phút. Đó vẫn là định luật Kepler III nói bằng giọng khác: T² tỉ lệ R³ chia khối lượng, mà khối lượng lại tỉ lệ R³.
Trường hợp biên: đứng yên vẫn không sao — và 84,3 phút của Trái Đất
Gia tốc trọng trường trên hòn đá 1 km là 5,59×10⁻⁴ m/s², bằng 1/17 545 của Trái Đất — nghe như đủ để bạn tự bốc lên. Không hề: thả hòn sỏi từ ngang thắt lưng, nó vẫn rơi xuống, chỉ mất 59,8 giây. Đứng im thì tuyệt đối an toàn; toàn bộ rắc rối nằm ở thành phần vận tốc ngang, và đó là lý do tàu thăm dò tiểu hành tinh sợ cú chạm nghiêng hơn cú rơi thẳng.
Còn công thức chu kỳ thì lớn hơn vẻ ngoài. Cắm ρ = 5 514 kg/m³ vào: 84,3 phút — vừa là chu kỳ quỹ đạo ngắn nhất có thể quanh Trái Đất (ISS ở 400 km mất 92,4 phút), vừa, với một Trái Đất mật độ đều đúng như giả thiết cả bài này dùng, đúng bằng thời gian một vật rơi qua đường hầm khoan xuyên tâm rồi quay lại chỗ thả. Đẩy R theo chiều ngược lại thì công thức tự kết liễu: vì v_thoát tỉ lệ thuận với R, nó chạm tốc độ ánh sáng ở một bán kính hữu hạn — với ρ = 2 000 là 1,90 đơn vị thiên văn, rộng hơn quỹ đạo sao Hoả. Cùng một dòng đại số đưa bạn từ cú nhún chân trên Bennu tới chân trời sự kiện; thứ duy nhất thay đổi là bạn đẩy chữ R đi xa tới đâu.