Đặt vali xuống sảnh sân bay, bốn bánh xe chĩa bốn hướng như vừa cãi nhau. Bạn bước một bước — cả bốn đã ngoan ngoãn quay về cùng chiều. Không động cơ, không ai lái, chỉ có một đoạn lệch tâm vài centimet làm việc theo một con số rất cụ thể:
Cái bánh xe không nằm dưới trục của chính nó
Nhìn kỹ một bánh xe đẩy: trục xoay thẳng đứng không xuyên qua tâm bánh. Điểm chạm đất bị đặt lùi phía sau trục một đoạn d — dân kỹ thuật gọi là độ lệch trục (trail). Đó là toàn bộ cơ cấu tự lái.
Bánh đang lăn thì không trượt ngang được. Khi bạn đẩy vali đi thẳng, trục xoay bị lôi theo hướng đẩy; nếu bánh còn chĩa lệch góc θ, vận tốc ấy có thành phần v·sin θ vuông góc với mặt phẳng bánh — thứ mà bánh cấm. Cách duy nhất để dung hoà là cả cụm xoay quanh trục:
dθ/ds = −sin(θ) / ds là quãng đường trục xoay đã đi. Để ý thứ vừa biến mất: vận tốc — nó có ở cả hai vế và bị ước sạch. Bánh xe không tự chỉnh hướng theo thời gian mà theo quãng đường: bạn thong thả đi bộ hay chạy vắt chân lên cổ cho kịp giờ bay, vali vẫn cần đúng chừng ấy centimet mới thẳng hàng. (Còn nên kéo hay đẩy, và nghiêng bao nhiêu độ lại là bài toán khác.)
15,7 centimet, và nửa sau lười hơn hẳn nửa đầu
Phương trình ấy giải được kín:
tan(θ/2) = tan(θ₀/2) · e^(−s/d)Với bánh vali cỡ d = 5 cm bắt đầu lệch vuông góc, θ₀ = 90°: sau 5 cm còn 40,4°, sau 10 cm còn 15,4°, và chạm ngưỡng 5° — mức mắt thường không phân biệt nổi với thẳng hàng — ở 15,7 cm. Chưa hết một bước chân.
Nhưng đường cong không đi đều tay: 7,8 cm đầu xử lý gọn 66,4° trong tổng số 85° phải sửa, toàn bộ nửa sau chỉ còn 18,6°. Đó là chữ ký của hàm mũ, y như chu kỳ bán rã: khi góc đã nhỏ, cứ mỗi d·ln2 = 3,47 cm là độ lệch bị cắt đôi, mãi mãi, không bao giờ chạm số không. Kéo vali nửa mét, bánh xe vẫn đang lệch — 0,005°.
Muốn nhanh gấp đôi thì rút d còn một nửa, đúng theo tỉ lệ
Vì d chỉ đứng ở số mũ, quãng đường tự chỉnh tỉ lệ thuần tuyến tính với nó: hạ d từ 5 cm xuống 2 cm thì 15,7 rơi xuống 6,3 cm, đúng 2,5 lần; nới lên 10 cm phải mất 31,3 cm.
Vậy sao không làm d thật bé cho gọn? Vì mô hình trên giả định bánh cứng và không quán tính, còn bánh thật thì có khối lượng và lốp biến dạng ngang. Chính d là cánh tay đòn sinh mômen hồi vị: d ngắn thì mômen ấy yếu đi trong khi quán tính cụm bánh giữ nguyên, và qua một tốc độ tới hạn, hệ chuyển từ tắt dần sang dao động tự kích — bánh lắc trái phải quanh vị trí thẳng thay vì lún êm vào nó, đúng cái ranh giới giữa giảm chấn đủ và không đủ. Tiếng lạch cạch của xe đẩy siêu thị lúc chạy nhanh là âm thanh của một cái d quá ngắn; đẩy d về đúng 0 thì bánh mất sạch khả năng tự lái, chỉ còn nước trượt ngang.
Trường hợp biên: đúng 180° và cú kéo lùi
Đặt θ₀ = 180° — bánh chĩa ngược hoàn toàn hướng bạn đi. Khi ấy sin 180° = 0,
nên dθ/ds = 0: không có gì bắt nó quay cả, trên lý thuyết chiếc bánh cứ
thế lăn giật lùi tới hết sảnh sân bay. Nhưng đây là cân bằng không bền:
lệch khỏi 180° một chút thì sai số ấy lớn lên theo hàm mũ, cũng với hằng
số d. Một hạt sạn làm lệch 0,1° thôi cũng đủ để sau 35,2 cm bánh đã xoay
được 90°. Công thức nói y hệt: tan(180°/2) = tan 90° = vô cực, quãng
đường cần thiết là vô hạn. Thanh trượt trong demo vì thế dừng ở 179° — nơi
đã cần 39,4 cm, gấp 2,5 lần so với xuất phát từ 90°.
Còn khi bạn kéo lùi chiếc xe đẩy, s đổi dấu và dấu trừ trong phương trình thành dấu cộng. Mọi kết luận lộn ngược: 0° thành không bền, 180° thành bền, mọi góc lệch tí xíu đều bị khuếch đại thay vì dập tắt. Từ 1° vênh, chỉ 23,7 cm sau bánh đã lệch 90° và còn quay tiếp. Đó là lý do chiếc xe đẩy ngoan như cún lúc bạn đẩy tới lại giãy lên lạch cạch ngay khi bạn kéo nó lùi: bạn không làm gì sai cả, bạn chỉ vừa đổi dấu một phương trình.