Cầm con mèo ngửa bụng, lưng chúc xuống, thả từ ngang hông — nó tiếp đất bằng bốn chân. Quay chậm lại mới thấy chỗ khó chịu: suốt cú rơi không có gì chạm vào nó. Không khí quá loãng để đạp, không ai vặn nó, và momen động lượng lúc rời tay bạn bằng đúng 0 — con số mà định luật bảo toàn bắt phải ở nguyên 0 tới lúc chạm sàn:
Vật rắn thì đã thua từ đầu
Trọng lực kéo vào khối tâm nên không tạo nổi momen lực quanh chính khối
tâm, còn lực cản ở 3 m/s chỉ cỡ 1% trọng lượng và đối xứng. Vậy L = 0
phải giữ nguyên suốt đường rơi. Với một vật rắn, momen quán tính I là
hằng số, nên L = Iω = 0 kéo theo ω = 0 vĩnh viễn: viên gạch thả ra không tự
xoay được một độ nào — không phải khó, mà là không thể.
Nhưng L = 0 ràng buộc tốc độ quay, không ràng buộc hướng. Chẻ con mèo làm hai nửa quay quanh trục cột sống chung, nó chỉ đòi:
I_trước · Δθ_trước + I_sau · Δθ_sau = 0Hai số hạng được phép lớn tuỳ ý, miễn triệt tiêu nhau — và I thôi làm hằng số ngay khi con vật biết co duỗi.
Thu một nửa, vặn, rồi đổi vai
Mèo ép hai chân trước vào ngực: nửa trước co thành khối bán kính ~6 cm
quanh trục. Hai chân sau duỗi thẳng ra ngoài: nửa sau thành khối bán kính
~12 cm. Vì I ∝ R², bán kính gấp đôi là quán tính gấp bốn — tỉ số
r = I_duỗi/I_thu ≈ 4.
Giờ nó vặn cột sống một góc α = 90° giữa hai nửa. Góc ấy không chia đôi 45/45 mà chia ngược với quán tính, nửa nhẹ quay nhiều: nửa trước +72°, nửa sau −18°. Rồi mèo đổi vai — duỗi chân trước, thu chân sau, tháo vặn về 0. Lần này nửa trước mới là nửa nặng nên chỉ trả lại 18°, còn nửa sau ăn trọn 72°. Hết nhịp, hai nửa thẳng hàng trở lại, cùng đứng ở +54°:
G = α · (r − 1) / (r + 1) = 90° × 3/5 = 54°Hai đường zíc-zắc trong demo là hai nửa thân thay nhau vọt lên rồi lùi lại; đường nét đứt đi giữa chúng là góc thân thật, leo đều 54° mỗi nhịp mà không giây nào cần đến một chút momen động lượng.
Ba nhịp rưỡi, và cái giá tính bằng centimet
180° chia 54° ra 3,33 nhịp. Phim tốc độ cao — từ loạt ảnh liên hoàn Marey chụp năm 1894 tới máy quay hôm nay — đều gói cả phản xạ trong khoảng 0,3 s, tức mỗi nhịp ~90 ms. Rơi tự do 0,3 s là 44 cm.
| r = I_duỗi/I_thu | Lãi mỗi nhịp (α = 90°) | Nhịp cần cho 180° | Độ cao tối thiểu |
|---|---|---|---|
| 1,5 | 18,0° | 10,0 | 3,97 m |
| 2 | 30,0° | 6,00 | 1,43 m |
| 4 | 54,0° | 3,33 | 0,44 m |
| 6 | 64,3° | 2,80 | 0,31 m |
| 8 | 70,0° | 2,57 | 0,26 m |
Cột cuối dốc đến vô lý: co chân chặt thêm chút nữa là cả bài toán độ cao đổi hạng. Mèo vẫn xoay kịp từ 30 cm — vỏn vẹn 0,247 s — nhưng khi ấy phải lãi 65,5° mỗi nhịp: vặn sâu hơn (α = 120° cho 72° mỗi nhịp) hoặc ép chân sát hơn nữa (r ≈ 6,4). Đúng hai núm ấy là hai slider đầu của demo, và cũng đúng là hai thứ duy nhất con mèo điều khiển được khi đang rơi.
Cái đuôi không làm việc đó
Truyền thuyết phổ biến: mèo lái bằng đuôi. Đặt số vào là hết truyền thuyết. Thân mèo 3,9 kg quanh trục dọc có I ≈ 0,0070 kg·m², còn cái đuôi 100 g dài 25 cm quay quanh cùng trục ấy chỉ được 0,0021 kg·m² — kém 3,4 lần. Muốn thân quay nửa vòng, đuôi phải quay 1,7 vòng trong 0,3 giây, tức 5,6 vòng mỗi giây. Không con mèo nào làm nổi, còn mèo Manx không đuôi vẫn tiếp đất bình thường: đuôi là bánh lái tinh chỉnh, không phải động cơ. Hoá đơn quán tính ở đây cùng loại với cú thu tay của vận động viên xoay — bên kia I đổi làm ω đổi, bên này I đổi làm hai nửa chia nhau góc quay khác đi — và cùng một quyền tự do với cú nhảy Fosbury: thân đổi hình được thì từng bộ phận không còn bị buộc đi theo quỹ đạo của khối tâm.
Trường hợp biên: khi tỉ số quán tính bằng 1
Kéo slider r về 1,0 — con mèo cứng đơ, hai nửa quán tính như nhau. Hai đường zíc-zắc vẫn dao động ±45°, nhưng đường nét đứt nằm bẹp ở 0: G = α × 0/2 = 0. Vặn một nhịp hay một nghìn nhịp, nó tiếp đất đúng tư thế lúc thả. Đó là định lý vật rắn viết lại bằng ngôn ngữ hình dạng, và cũng là lý do phi hành gia lơ lửng giữa khoang ISS không quay mặt lại được bằng cách gồng người: phải vung một cánh tay thành hình nón, tức chạy đúng demo này với r nhỉnh hơn 1, nên vung rất nhiều vòng mới đổi được một góc nhỏ.
Ở đầu kia, thêm độ cao thôi không giúp nữa: qua khoảng một mét thì tư thế đã xong, mọi centimet tiếp theo chỉ cộng vào tốc độ chạm đất và bài toán chuyển hẳn sang vận tốc tới hạn. Con mèo cũng đổi chiến thuật đúng lúc ấy: duỗi cả bốn chân, xoè người ra — vừa tăng lực cản, vừa dựng sẵn bốn cái giảm xóc. Nó không phá định luật nào; nó chỉ nhận ra trước chúng ta rằng momen động lượng bằng 0 ràng buộc tốc độ quay, chứ không ràng buộc hướng quay về.