Chiếc máy đánh nhịp hình tháp trên nóc đàn piano có một chi tiết ai cũng dùng mà không ai thấy lạ: bạn trượt quả nặng lên cao thì nó đánh chậm lại. Mọi con lắc khác trên đời làm ngược — và máy đánh nhịp cãi được là vì quả nặng bạn nhìn thấy nằm sai phía trục quay:
Hai mô-men trừ nhau, chứ không cộng
Mở thân tháp ra: khuất phía dưới trục quay còn một đối trọng cố định mà bạn không bao giờ chạm tới — ở mô hình trên là 32 g cách trục 3,0 cm. Quả nặng trượt được thì nằm trên trục. Đối trọng dưới trục kéo cần về vị trí đứng: con lắc bình thường. Quả nặng trên trục kéo cần đổ xa thêm: con lắc ngược. Cùng một trọng lực, hai mô-men ngược dấu, và cái còn lại sau phép trừ mới điều khiển nhịp:
T = 2π · √( I / [ g·(m₁r₁ − m₂r₂) ] ) I = m₁r₁² + m₂r₂² + m_cần·L²/3
nhịp/phút = 120 / T(120 chứ không phải 60: cơ cấu hồi kêu một tiếng ở mỗi đầu biên, tức hai tiếng mỗi chu kỳ.)
Con số then chốt là m₁r₁ = 96 g·cm — ngân sách mà quả nặng trượt tiêu dần. Ở r₂ = 1 cm nó mới tiêu 8, mẫu số còn 88 g·cm: 201 nhịp/phút. Đẩy lên 11 cm, nó tiêu hết 88, mẫu số còn 8 g·cm — 8% ngân sách — và nhịp còn 41. Hai đầu ấy không phải tôi chọn cho đẹp: thang in trên mọi máy đánh nhịp cơ chạy đúng từ 208 xuống 40.
40 nhịp mỗi phút, gói trong 12 xentimét
Vì sao phải bày ra phép trừ cho phức tạp? Vì cách thẳng thắn thì không vác đi được. Nhịp 40 nghĩa là chu kỳ 3,0 giây, mà một con lắc đơn theo T = 2π√(L/g) muốn chậm đến thế phải dài 2,24 m. Ngay nhịp 60 hiền lành — mỗi tiếng một giây — cũng đòi 0,99 m: đó là con lắc giây của đồng hồ quả lắc, và là lý do đồng hồ quả lắc cao bằng người. Maelzel không kéo dài cánh tay đòn; ông bóp nhỏ mô-men hồi phục cho tới khi cái cần 12 cm lắc uể oải như một cây cột 2,24 m.
Mẫu số rơi 11 lần, quán tính chỉ tăng 2,2
Trượt quả nặng từ 1 cm lên 11 cm làm hai việc cùng lúc: mẫu số sụp 11 lần (88 → 8 g·cm), còn I thì tăng vì quả nặng ra xa trục — 776 → 1 736 g·cm², tức 2,24 lần. Cả hai đều làm chậm, và chúng nhân nhau dưới dấu căn: √(11 × 2,24) = 4,96, đúng tỉ số 201,4/40,6. Phép trừ làm phần lớn công việc, quán tính chỉ phụ hoạ.
Hệ quả thực dụng nằm ở độ dốc. Ở r₂ = 1 cm, xê dịch quả nặng 1 mm đổi 1,13 nhịp/phút — 0,56% tempo. Ở 11 cm, cũng 1 mm ấy đổi 2,28 nhịp/phút, tức 5,6%: sai số tương đối gấp mười lần. Cây máy cũ dầu khô, chốt trục rơ, vì thế thường vẫn khá đúng ở đầu nhanh mà sai bét ở đầu chậm — gần chỗ mẫu số cạn, ma sát nuốt mất phần năng lượng mà cơ cấu hồi bơm vào, và mọi nhiễu đều được phép chia phóng đại lên. (Công thức trên là gần đúng góc nhỏ; cần lắc thật tới ±25° nên chu kỳ dài hơn chừng 1,2%.)
Trường hợp biên: qua 12,0 cm, cần thôi làm con lắc
Đẩy quả nặng 8 g lên đúng r₂ = 12,0 cm thì m₂r₂ = 96 g·cm, bằng chằn chặn m₁r₁. Mẫu số bằng không, chu kỳ vô hạn, nhịp bằng 0: cần đứng đâu nằm yên đó, cân bằng phiếm định, không còn phương nào để trở về.
Nhích thêm một milimét, dưới dấu căn là số âm — cách toán học báo rằng câu hỏi đã hỏng, chứ không phải rằng chu kỳ ảo. Mô-men đổi dấu: cần đổ hẳn sang một bên rồi nằm đó. Ở 12,5 cm, độ lệch khỏi phương đứng nhân lên e sau mỗi 0,72 giây — chính là con lắc ngược, thứ chỉ đứng thẳng nổi nếu có ai rung điểm treo thật nhanh. Nhà sản xuất chặn chuyện đó không bằng vật lý mà bằng một mẩu kim loại: vạch chậm nhất luôn dừng trước tiệm cận, và trên ngọn cần có cái chặn. Tay nghề của chiếc máy nằm ở chỗ chọn 96 g·cm sao cho nhạc công đi được tới sát bờ vực — rồi dựng rào ngay trước mép.