Ngày 10 tháng 6 năm 2000, cầu đi bộ Millennium bắc qua sông Thames mở cửa. Đám đông vừa tràn lên, mặt cầu bắt đầu lắc ngang, và người trên cầu tự động bước đồng loạt như một đoàn diễu binh. Hai ngày sau cầu đóng cửa. Thủ phạm không phải cộng hưởng — mà là một dấu trừ:
Mỗi người đi bộ là một cái giảm chấn cắm ngược dấu
Bạn đi 2 bước mỗi giây, nhưng trọng tâm chỉ lắc trái rồi phải một lần cho mỗi hai bước: nhịp ngang của cơ thể là 1 Hz, đúng bằng tần số ngang của nhịp cầu Millennium. Nghe đã giống cộng hưởng — thực tế còn tệ hơn.
Giờ đặt bạn lên một mặt sàn đang trượt ngang. Chân đi bộ là một con lắc ngược; để khỏi ngã, bạn đặt bàn chân hơi lệch về phía sàn đang chạy tới. Cú đặt chân ấy đẩy sàn thêm một nhát đúng lúc sàn đi nhanh nhất: lực bạn tác dụng tỉ lệ không phải với li độ mà với vận tốc của cầu. Arup đo hệ số ấy sau sự cố — khoảng 300 N·s/m mỗi người.
Lực tỉ lệ vận tốc, theo định nghĩa, là lực cản — chỉ có điều vòng phản xạ thăng bằng của người gắn cho nó dấu ngược: cái giảm chấn ấy bơm năng lượng vào thay vì rút ra. Trải dọc dạng dao động nửa hình sin của nhịp, trung bình mỗi người góp −150 N·s/m.
Một ngưỡng, không phải một đỉnh
Nhịp cầu thép có chút cản của riêng nó, ít đến mức xấu hổ:
c_kết cấu = 4π · ζ · m · f (m tính bằng kg → N·s/m)
N tới hạn = c_kết cấu / 150 = 8π · ζ · m · f / kSố của Millennium, cũng là mặc định trong demo: m = 113 tấn, f = 1,00 Hz, ζ = 0,7 % → 9 940 N·s/m; chia cho 150: 66 người.
Đường xanh ấy không giống đường cong cộng hưởng chỗ nào. Cộng hưởng cho một đỉnh: lực kích thích cố định, biên độ dâng rồi dừng ở mức cản đỡ nổi. Ở đây là một ngưỡng: dưới 66 người mặt cầu dập tắt mọi rung lắc, trên 66 người tổng cản mang dấu âm và một nhiễu bé tí cũng lớn lên theo hàm mũ — 100 người thì biên độ nhân đôi mỗi 31 giây, 200 người mỗi 7,8 giây.
Kỹ sư thời đó có tính tải trọng đám đông và tính đúng, theo giả thiết chuẩn: người đi bộ pha ngẫu nhiên nên lực ngang chỉ cộng theo căn bậc hai — 2 000 người mạnh ngang √2 000 ≈ 45 người bước cùng nhịp. Chỗ hỏng là chữ “ngẫu nhiên”: mặt cầu lắc ép tất cả chỉnh thăng bằng theo cùng một chu kỳ, tự sản xuất ra sự đồng bộ nuôi sống nó. Hôm mở cửa, 2 000 người trên mặt cầu đẩy biên độ ngang tới 70 mm.
Vì sao “phá nhịp bước” không cứu được gì
Lính qua cầu được lệnh phá nhịp bước để không tần số nào trùng tần số riêng. Ở đây mẹo ấy vô nghĩa: lực gây hại neo vào vận tốc cầu chứ không vào nhịp chân bạn — khởi hành nhịp nào thì vài chục bước sau mặt cầu cũng chỉnh bạn về nhịp của nó.
Công thức chỉ có ba cần gạt: ζ, m và f. Tăng m hay f là xây lại kết cấu, nên còn đúng một lối rẻ — bơm cản thật vào. Millennium được lắp 37 giảm chấn nhớt và 52 bộ khối lượng điều chỉnh hết khoảng 5 triệu bảng, kéo ζ từ 0,7 % lên cỡ 20 %: ngưỡng nhảy lên gần 1 900 người, đông đến mức ở mật độ 1,5 người/m² phải trải kín 316 m mặt cầu rộng 4 m — dài hơn cả nhịp dài nhất của cây cầu 325 m ấy. Cầu mở lại ngày 22 tháng 2 năm 2002, sau hai mươi tháng đóng cửa.
Trường hợp biên: trong công thức không có biên độ nào cả
Đọc lại N tới hạn = 8π · ζ · m · f / k: không có ký hiệu nào cho biên
độ, nên mô hình dự đoán dao động lớn mãi không trần — mà cầu không sập.
Chỗ gãy nằm trong chính con số 300 N·s/m. Ở biên độ 70 mm với f = 1,0 Hz,
mặt cầu chạy nhanh nhất 0,44 m/s, nên “giảm chấn người” phải xuất ra
300 × 0,44 = 132 N lực ngang: 13,5 kgf, một phần năm trọng lượng người
70 kg, mỗi giây một lần. Không ai đi bộ như vậy — người ta đứng lại, dạng
chân, túm lan can, và đúng lúc đó đổi dấu, thành giảm chấn thật. Cơn mất ổn định tự chặn mình ở đúng biên độ đủ làm người ta sợ.
Đầu kia của công thức lạnh hơn: ζ → 0 thì N tới hạn → 0 — một nhịp cầu không cản sẽ bị một người làm cho lắc. Với loại cầu mảnh, dài, nhẹ mà kiến trúc hiện đại ưa thích, 0,7 % ấy là toàn bộ khoảng cách giữa đi lại bình thường và một ngưỡng 66 người.