Giữa tầng 87 và 92 của Taipei 101 có một quả cầu thép đường kính 5,5 mét, nặng 660 tấn, treo lơ lửng bằng tám bó cáp, mở cửa cho khách tham quan chụp ảnh. Nó không phải tác phẩm điêu khắc. Trong toà tháp 508 mét ấy, nó là bộ phận duy nhất có nhiệm vụ lắc:
Chỉ khối lượng mới quyết định được trần
Một tháp thép là cái lò xo khổng lồ có tần số riêng — Taipei 101 lắc trọn
một vòng mất khoảng 6,8 giây. Khi gió xoáy sau toà nhà đẩy đúng nhịp
ấy, biên độ nhân lên
theo luật cộng hưởng: với cản sẵn có của khung thép ζ ≈ 1%, đỉnh khuếch
đại là 1/(2ζ) = 50 lần so với cùng lực ấy đẩy tĩnh.
Bây giờ treo thêm một khối m, chỉnh về gần cùng tần số, đặt μ = m/M. Den Hartog giải xong bài toán này năm 1947 và ra một kết quả đẹp đến khó tin: đỉnh còn lại chỉ phụ thuộc μ.
đỉnh khuếch đại = √(1 + 2/μ)μ = 1% cho 14,2 lần. Độ cứng cáp, cản của khối treo, khối lượng tuyệt đối: không tham số nào khác len vào được, và muốn thấp hơn nữa chỉ còn một đường — nặng thêm. Công thức bỏ qua cản sẵn có của chính toà nhà nên nó là cận trên; demo tính đủ cả 1% ấy ra 11,5 lần, tức cắt 77% độ lắc.
Chỉnh thấp hơn một chút, và cản vừa đúng
Trực giác bảo chỉnh khối treo đúng bằng tần số nhà. Sai — hai công thức còn lại của Den Hartog nói khác:
f = 1/(1 + μ) ζ₂ = √( 3μ / (8(1+μ)) )Với μ = 1%: chỉnh thấp hơn 1%, xuống 0,990, và cho khối treo cản 6,1%.
Con số cản mới là chỗ khó nuốt. Kéo ζ₂ về 0 trong demo: khối treo không cản khoá toà nhà đứng im tuyệt đối — nhưng chỉ tại đúng tần số của riêng nó, và hai bên cái đáy thọc xuống ấy mọc lên hai đỉnh cao 52,8 lần, cao hơn cả toà nhà để trần. Một TMD không cản chẳng hấp thụ gì; nó chỉ tách một cộng hưởng thành hai. Kéo ζ₂ lên 20% thì ngược lại: quả cầu bị khoá cứng vào kết cấu, thành 660 tấn chết, đỉnh vọt lại 22,4 lần. Vẫn là bài toán điểm vàng của giảm xóc, chỉ khác chỗ đặt cái cản.
Quả cầu 5,5 mét và sợi con lắc 11,5 mét
Thử kiểm: cầu thép đặc đường kính 5,5 m có thể tích 87,1 m³, nhân 7 850 kg/m³ ra 684 tấn — sát con số 660 tấn công bố, nên quả cầu ấy là thép đặc chứ không phải vỏ rỗng.
Còn tần số lấy ở đâu? TMD của Taipei 101 là một con lắc, T = 2π√(L/g).
Muốn T = 6,8 giây phải có L = g(T/2π)² = 11,5 m dây treo — gần ba
tầng nhà chỉ để đung đưa, cộng 5,5 mét đường kính quả cầu. Đó là lý do
bộ giảm chấn ăn trọn năm tầng lầu.
Còn μ? Đây là chỗ dễ tính sai nhất. 660 tấn trên một toà tháp 700 000 tấn là 0,094% — nghe như vô vọng. Nhưng mẫu số đúng không phải toàn bộ khối lượng: mode dao động thứ nhất gần như không nhấc nổi các tầng dưới, khối lượng hiệu dụng của nó chỉ cỡ một phần ba toà tháp. μ thực tế khoảng 0,3%, và công thức trả đỉnh còn 18,0 lần — cắt 64%. Taipei 101 công bố giảm khoảng 40% độ lắc; cùng một cỡ, và phần chênh chính là khoảng cách giữa gió thật và một lực điều hoà lý tưởng.
Trường hợp biên: cú giật đầu tiên tới quá sớm
TMD không có phép màu nào ngoài việc lắc lệch pha với toà nhà — mà lệch
pha thì cần thời gian. Đỉnh 14,2 lần tương đương một hệ có cản
1/(2 × 14,2) = 3,5%, và biên độ của hệ ấy chỉ leo tới 63% giá trị ổn định
sau 1/(2πζ) = 4,5 chu kỳ, ở đây là 31 giây rung liên tục. Bão
thừa 31 giây. Động đất thì không: pha phá huỷ mạnh nhất của một trận gần
tâm chấn đến trong vài giây đầu, lúc quả cầu 660 tấn còn chưa kịp nhúc
nhích — nó đi qua cơn động đất gần như một khối chết, và nhà chống bão
với nhà chống động đất vì thế không mua chung một món.
Chỉnh sai cũng đủ đắt: lệch tần số 5% về bên nào cũng đưa đỉnh từ 11,5 lên khoảng 19 lần, mất non nửa số tiền đã bỏ ra. Mà tần số riêng của toà nhà có trôi — thêm nội thất, thêm người, kết cấu mỏi dần — nên TMD lớn phải được đo và chỉnh lại định kỳ suốt đời toà nhà. Ranh giới nghề nằm gọn ở đó: nhịp cầu bị chính người đi bộ bơm năng lượng vào chữa được bằng đúng món này, vì nó rung đều và rung lâu; còn thứ đến một lần rồi thôi thì phải mua loại khác — loại ăn năng lượng ngay từ cú giật đầu tiên, chứ không xin bốn chu kỳ rưỡi để khởi động.