Ai từng cầm gậy bóng chày đều biết hai cảm giác này. Một cú đập êm ru, bóng bay mà tay không hay biết gì. Và một cú lệch vài centimét, cùng lực ấy, làm cổ tay tê buốt tới khuỷu. Cây gậy không đổi, cú va không đổi:
Hai chuyển động triệt tiêu nhau tại đúng một chỗ
Khi bóng đập vào gậy, cây gậy làm hai việc cùng lúc. Nó bị đẩy lùi cả khối — trọng tâm gia tốc a = F/m — và nó quay quanh trọng tâm, vì lực không đi qua trọng tâm. Ở phía tay cầm, hai chuyển động ấy ngược nhau: tịnh tiến kéo tay lùi về sau, quay hất tay ra trước.
Với cây gậy đều dài 0,80 m nặng 300 g, cú va 500 N ở mốc 53,3 cm cho a = 1 667 m/s² và gia tốc góc 4 167 rad/s². Điểm tay cầm cách trọng tâm 0,40 m, nên phần quay đóng góp đúng 4 167 × 0,40 = 1 667 m/s² — triệt tiêu sạch. Tay cầm không gia tốc, nên không cần lực nào giữ nó lại: 0 N. Chỗ ấy gọi là tâm va đập, và nó đứng ở
b_COP = I / (m·d)với I là momen quán tính quanh tay cầm, d là khoảng cách tay–trọng tâm. Gậy đều: I = mL²/3, d = L/2, nên b_COP = 2L/3. Đây chính là công thức Huygens dùng cho con lắc vật lý: tâm va đập trùng khít tâm dao động, tức chiều dài con lắc đơn tương đương.
5,3 centimét là khác biệt giữa 0 và 50 newton
Lực truyền vào tay là một hàm bậc nhất, thẳng băng:
R = F · (1 − b/b_COP)Đập tại 0,48 m — lệch vào trong 5,3 cm — tay nhận 50 N, đúng một phần mười cú va. Đập tại 0,20 m, kiểu chặn bóng sát tay: 312 N, gần hai phần ba cú va dồn thẳng vào cổ tay. Còn vượt qua tâm va đập thì dấu đổi: ở 0,64 m tay nhận 100 N nhưng giật theo chiều ngược lại, và ở đúng đầu mút 0,80 m là 250 N ngược chiều — một nửa cú va, hất cán gậy khỏi lòng bàn tay.
Công thức còn lặng lẽ nói một điều: R không phụ thuộc khối lượng gậy, chỉ phụ thuộc cách khối lượng được xếp đặt. Gậy 300 g hay 900 g, cùng hình dáng thì cùng b_COP và cùng tỉ lệ truyền lực — đúng cái luật đã quyết định cuộc đua vật lăn, nơi hình dáng thắng còn khối lượng bị loại khỏi cuộc chơi. Con số 500 N cũng chỉ là cái thang: cú bóng chày thật có lực trung bình 17,6 kN (banh 145 g đảo chiều 85 m/s trong 0,7 ms), và vì R tỉ lệ thuận với F, mọi tỉ lệ phần trăm ở trên giữ nguyên.
Dán chì lên đầu vợt là dời cả điểm ngọt
Bây giờ kéo thanh trượt thứ hai. Thêm 100 g ở đầu gậy đẩy tâm va đập từ 53,3 cm ra 64,0 cm — dịch 10,7 cm, chỉ vì 100 g rơi vào đúng chỗ có tay đòn dài nhất. Dân chơi tennis dán băng chì lên vành vợt chính là làm việc này: dời điểm ngọt lên vùng dây mà họ thực sự đánh trúng. Nhưng ai dán chì rồi vẫn đánh ở giữa mặt vợt thì đã tự đẩy mình vào phía trong tâm va đập — và cú giật đổi chiều.
Trường hợp biên: “điểm ngọt” là ba điểm, và chúng không chịu gặp nhau
Tâm va đập chỉ trị được cú giật. Cái tê buốt ở tay còn có nguồn thứ hai: cây gậy rung như một thanh dầm. Dao động uốn bậc một của thanh tự do hai đầu có hai nút đứng yên ở 22,4% và 77,6% chiều dài — với gậy 0,80 m là 17,9 cm và 62,1 cm. Đập trúng nút đó thì mode một không được kích thích, tay không rung. Nhưng 62,1 cm không phải 53,3 cm: hai “điểm ngọt” cách nhau 8,7 cm, và bạn không thể trúng cả hai.
Dán chì vào đầu gậy cũng không hoà giải được chúng: 100 g ở đầu kéo nút rung từ 62,1 ra 71,6 cm trong khi kéo tâm va đập từ 53,3 ra 64,0 — cả hai cùng chạy ra ngoài, khoảng hở chỉ khép từ 8,7 xuống 7,6 cm. Còn điểm ngọt thứ ba, chỗ bóng bay xa nhất, thì tệ hơn nữa: nó không phải đặc tính của cây gậy. Khối lượng hiệu dụng tại điểm đập tụt từ 225 g ở tâm va đập xuống 75 g ở đầu mút, đúng ba lần, trong khi tốc độ đầu gậy lại tăng dần ra ngoài — chỗ tích của hai thứ đạt cực đại phụ thuộc cả banh lẫn cú vung. Với thông số bóng chày nó nằm ở 45,7 cm; với thông số tennis, 54,5 cm. Đổi quả bóng là đổi điểm ngọt. Vậy nên khi một tay vợt bảo “cây này ngọt hơn”, đó không phải lời khen mơ hồ: anh ta đang nói ba điểm trên cây vợt của mình tình cờ nằm đủ gần nhau. Phần lệch còn lại thì đành phó cho nghệ thuật tắt dần — mà miếng cao su ai cũng gài vào dây vợt chỉ dập được tiếng kêu của dây, không chạm tới mode uốn của khung.