Bạn ấn con lật đật nằm rạp xuống mặt bàn, buông tay, nó bật dậy. Ấn mạnh hơn nữa — vẫn dậy. Không nam châm, không lò xo, không pin: chỉ có hai chiều cao đang so nhau, và một cục chì quyết định chiều nào lớn hơn.
Cái đáy tròn dựng ra một điểm treo vô hình
Đáy con lật đật là chỏm cầu bán kính R, và chỏm cầu nào cũng có tâm — gọi nó là C. Đây là mẹo hình học chống đỡ cả trò chơi: khi vật lăn không trượt trên bàn, C không nhúc nhích theo phương thẳng đứng. Nghiêng 5°, nghiêng 40°, C vẫn treo đúng độ cao R: điểm chạm trượt sang bên, thân vật xoay, còn C thì như bị đóng đinh.
Vậy con lật đật là con lắc treo ở C — mà con lắc chỉ có một luật: trọng tâm dưới điểm treo thì bền, trên thì đổ.
bền ⇔ y_G < Ry_G là chiều cao trọng tâm đo từ điểm chạm khi đứng thẳng. Thân đồ chơi rỗng 80 g có trọng tâm ở 6,0 cm — cao hơn R = 5,0 cm một xentimét chẵn. Con lắc treo ngược: đặt xuống bàn là đổ, càng nghiêng càng nhanh.
Mỗi gam chì mua được bốn gam-xentimét
Đại lượng nên theo dõi không phải y_G — thương số thì không cộng được. Nhân nó ra:
M·(R − y_G) = tổng của các m·(R − y)Vế phải là khoản kế toán thẳng thớm: mỗi mẩu khối lượng góp phần riêng, dấu do chính độ cao của nó quyết định. Thân 80 g ngồi ở 6,0 cm, cao hơn C, góp −80 g·cm. Chì đúc sát đáy ở 1,0 cm thì thấp hơn C bốn xentimét, nên mỗi gam chì góp +4 g·cm.
Từ đó mọi thứ tự tính ra. 20 g chì đưa tổng về đúng 0 — ranh giới thật, chỗ nghiêng bao nhiêu cũng đứng yên bấy nhiêu, không đổ mà chẳng buồn dậy. 40 g đẩy tổng lên +80 g·cm, đúng bằng con số âm mà thân trần mang theo, chỉ đổi dấu: món đồ chơi giờ kéo về mạnh đúng bằng mức nó từng tự đổ.
Chì không được đặt bừa. Vẫn 40 gam ấy nhét ở 3,0 cm chỉ góp +80 g·cm, vừa khít triệt tiêu và không dư gì; nhấc lên ngang C ở 5,0 cm thì nó góp số không — nặng mà vô dụng. Ranh giới của 40 gam chì là mốc 3,0 cm, và đó mới là lý do con lật đật nào cũng đúc chì sát đáy.
Nghiêng 30° thì nó đẩy lại bao nhiêu
Nhân khoản kế toán ấy với gia tốc trọng trường là ra mô-men quanh điểm chạm:
τ = M·g·(R − y_G)·sinθM = 120 g, R − y_G = 6,67 mm, nghiêng 30° cho 3,92 mN·m. Nghe bé, nhưng đối thủ cũng bé: cú nghiêng ấy chỉ nhấc trọng tâm lên 0,89 mm, tốn 1,05 mJ. Thân trần ở cùng góc 30° cho −3,92 mN·m — cùng độ lớn, ngược chiều; đường cam trong demo chính là nó.
Công thức không có chữ “gần đúng” nào: là sinθ chứ không phải θ, nên đúng ở mọi góc chừng nào mặt cầu còn chạm bàn. Ở 60° — mép chỏm cầu trong demo — mô-men lên 6,80 mN·m, gấp 1,73 lần. Càng đè, nó càng cãi.
Càng vừa đủ bền thì lắc càng chậm
Cân bằng bền thì phải kèm dao động, và chu kỳ tố cáo ngay bạn bỏ bao nhiêu chì:
T = 2π·√((I_G + M·y_G²) / (M·g·(R − y_G)))Mẫu số chứa đúng hiệu số quyết định mọi chuyện: càng sát ranh giới, mẫu số càng teo và chu kỳ càng phình. Với 40 g chì — coi thân và chì là hai khối lượng điểm trên trục — một nhịp lắc mất 1,21 s, chậm đủ để đếm. Đổ lên 80 g, hiệu R − y_G nhảy từ 6,67 lên 15,0 mm và chu kỳ tụt còn 0,70 s. Đồ chơi ngoài hàng chọn vế sau: nhiều chì, lắc nhanh, trông sống động. Cùng logic với chu kỳ con lắc đơn, chỉ khác là “chiều dài dây” ở đây là 6,67 milimét giữa G và một điểm C không nằm trong vật liệu nào.
Trường hợp biên: mài phẳng cái đáy thì công thức tự sụp
Mài phẳng cái đáy. Mặt phẳng có bán kính cong vô hạn, nên y_G < R trả lời
“bền tuyệt đối, mọi trọng tâm” — và sai hoàn toàn. Sai vì đáy phẳng không
lăn: nghiêng một chút là vật tì lên mép, trục quay nhảy từ điểm chạm trượt
êm sang một cạnh cứng. Tiêu chí đổi hẳn nhân dạng, thành hình chiếu trọng
tâm còn rơi trong đế đỡ hay không — đúng phép tính lật xe khách ở 0,71
g. Ngay con lật đật thật cũng
chạm ranh giới ấy: chỏm cầu chỉ trải một góc hữu hạn, quá góc đó là mép cấn
xuống bàn.
Thả xuống nước thì trọng lực lại đổi vai cho lực đẩy Archimedes: con tàu vẫn ổn định dù trọng tâm nằm cao hơn tâm nổi, miễn còn dưới điểm metacentre. Metacentre chẳng qua là tâm C phiên bản chất lỏng, do nước tự dựng ra mỗi lần thân tàu nghiêng. Đáy tròn của con lật đật đúc bằng nhựa; đáy tròn của con tàu đúc bằng hình dạng phần chìm, vẽ lại từ đầu sau mỗi con sóng.