Cánh cổng sắt ở quê: bạn đẩy nó mở, buông tay, và nó tự trôi về khung — chậm rãi, uy nghi, mất mấy giây cho một mét đường. Không lò xo, không bản lề thuỷ lực. Người thợ chỉ hàn hai bản lề lệch khỏi phương thẳng đứng chừng một độ:
Trọng lực chỉ được góp một lát mỏng
Trục quay thẳng đứng, cần nằm ngang: bạn có cái mâm xoay. Đẩy tới đâu nó nằm đó, vì quay không nâng quả nặng lên một milimét nào.
Nghiêng trục đi góc α thì mặt phẳng cần quét cũng nghiêng α, và lệch khỏi
cân bằng một góc θ là quả nặng dâng đúng L·sinα·(1−cosθ) — trong khi con
lắc dây thường dâng L·(1−cosθ). Cùng một bài toán, chỉ khác g bị thay
bằng g·sinα: đúng cái lát mỏng của trọng lực còn sót lại dọc một mặt
nghiêng.
T = 2π · √( L / (g · sin α) )Ở α = 90° trục nằm ngang, sin bằng 1, công thức rơi về T = 2π√(L/g) quen
thuộc:
cần 50 cm cho 1,42 giây. Nghiêng trục về 1°, trọng lực chỉ còn góp
g·sin1° = 0,171 m/s² — 1,7% của g — và vẫn cái cần 50 cm ấy đu đưa
với chu kỳ 10,74 giây, chậm đi 7,57 lần mà không thêm một centimét vật
liệu.
Cần 50 cm giả làm sợi dây 28,6 mét
Con lắc ngang nghiêng α hành xử y hệt con lắc dây dài L/sinα:
| Góc nghiêng trục | g hiệu dụng | T (cần 50 cm) | Dây tương đương |
|---|---|---|---|
| 90° | 9,81 m/s² | 1,42 s | 0,50 m |
| 5° | 0,855 m/s² | 4,80 s | 5,74 m |
| 1° | 0,171 m/s² | 10,74 s | 28,6 m |
| 0,5° | 0,0856 m/s² | 15,18 s | 57,3 m |
Muốn 10,74 giây theo lối treo dây, bạn cần 28,6 mét thông tầng — một giếng trời bảy tầng lầu. Con lắc ngang nhét từng ấy chu kỳ vào một hộp giày.
Hai thanh trượt nói rõ ai mới là ông chủ: L nằm dưới dấu căn nên gấp đôi chiều dài cần chỉ mua thêm 1,41 lần chu kỳ — đường đứt màu cam (cần 1 m) vì thế gần như dán vào đường xanh — còn đi từ 5° xuống 1° đã nhân chu kỳ 2,23 lần. Hình học của bản lề quyết định tất cả, kích thước chỉ đứng xem.
Cánh cổng đầu bài là tấm phẳng chứ không phải quả nặng đầu cần, nên quán tính của nó tương đương một cần điểm dài 2/3 bề rộng: cổng 1 m ứng với L = 0,67 m, bản lề nghiêng 1° cho chu kỳ 12,4 giây. Quãng từ lúc buông tay tới lúc chạm khung là một phần tư chu kỳ, 3,1 giây — đúng cái nhịp bạn vẫn thấy.
Cỗ máy này sinh ra để nghe động đất
Hengler mô tả nó năm 1832, Zöllner hoàn thiện năm 1869, và cả một thế kỷ địa chấn học dựng trên nó. Nguyên tắc của mọi máy đo rung: khối lượng chỉ chịu đứng yên cho đất trượt bên dưới khi chu kỳ riêng của máy dài hơn chu kỳ sóng cần đo. Sóng mặt của những trận động đất xa có chu kỳ 15–40 giây; con lắc dây 20 giây đòi 99 mét. Nghiêng bản lề xuống 0,3° thì cần 50 cm đã cho 19,6 giây.
Nhưng chính hình học đẻ ra khoản chu kỳ ấy cũng đẻ ra một tật: nền nhà nghiêng đi ε thì vị trí cân bằng của cần không lệch ε mà lệch ε/sinα, ở 1° là gấp 57 lần. Nền nghiêng 1 micro-radian — 0,21 giây cung, độ dốc của một sàn dài 1 km có đầu này cao hơn đầu kia 1 mm — đẩy đầu cần 50 cm đi 28,6 µm. Con lắc ngang vừa là địa chấn kế ngang tốt nhất từng có, vừa là máy đo nghiêng tốt nhất từng có, và bạn không được chọn hôm nay nó làm nghề gì.
Trường hợp biên: khi trục thẳng đứng hoàn toàn
Hai con số ấy không độc lập. Khử sinα giữa chúng ra một quan hệ trần trụi:
hệ số khuếch đại nghiêng nền = g·T²/(4π²·L) — chu kỳ mua bằng hình học
luôn phải trả bằng độ nhạy nền tỉ lệ với bình phương chu kỳ. Về chân
thang trượt, 0,2°: cần 50 cm đạt 24,0 giây và hệ số khuếch đại lên 286
lần, trong khi giãn nở nhiệt của móng nhà làm nền trôi vài micro-radian
mỗi ngày chỉ vì nắng chiếu một bức tường.
Tới α = 0 thì mẫu số biến mất. Cái còn lại không phải con lắc chu kỳ vô hạn mà là cái mâm xoay ban đầu: cần nằm im ở đâu bạn bỏ nó, và độ nghiêng vặt vãnh của nền — thứ trước đó là nhiễu — giờ là toàn bộ trường lực. Máy thôi đo mặt đất và bắt đầu bị mặt đất định nghĩa. Nên địa chấn kế dải rộng ngày nay dừng phần hình học ở vài độ rồi mua nốt chu kỳ bằng phản hồi lực: một cuộn dây giữ khối lượng đứng yên, và thứ được ghi lại là dòng điện phải bơm vào. Các trạm hiện đại đạt 360 giây theo lối đó — sợi dây làm nổi việc ấy sẽ dài 32 kilômét.