Cây đũa dựng ngược không chịu đổ: chỉ cần rung chân đế 32 lần mỗi giây

Giữ cán chổi thăng bằng trên lòng bàn tay thì khó, nhưng ai cũng làm được. Đổi sang cây đũa 30 cm là gần như vô vọng — nó đổ trước khi tay bạn kịp nhúc nhích. Vậy mà bắt bản lề đúng cây đũa ấy lên một cái đế đang rung, nó dựng ngược lên trời và ở yên đó, không ai đỡ:

Biên độ rung của đế a (mm)

Tần số rung f (Hz)

Chiều dài thanh L (cm)

Chổi dễ hơn đũa vì cái đồng hồ đổ chạy chậm hơn

Thanh dựng ngược lệch khỏi thẳng đứng thì góc nghiêng phình theo hàm mũ, hằng số thời gian τ = √(L_qđ/g) — và L_qđ không phải chiều dài thanh: khối lượng trải dọc suốt thân, nên cách xếp khối lượng quanh trục rút thanh đồng chất quay quanh đầu dưới thành chiều dài quy đổi L_qđ = 2L/3. Cán chổi 1,5 m có τ = 0,32 s, cây đũa 30 cm chỉ 0,14 s — trong khi vòng mắt–não–tay tiêu cỡ 0,2 s mỗi lần chỉnh. Với chổi, hết một vòng chỉnh mà sai số chưa kịp gấp đôi nên tay bạn còn đuổi kịp; với đũa, mỗi vòng chỉnh nó đã phình hơn bốn lần. Nghiêng 1° rồi buông tay, chổi cho bạn 1,31 giây để ngả tới 30°, đũa cho đúng 0,58 giây. Bạn thua vì hết giờ, không phải vì vụng.

Rung nhanh bẻ trọng lực thành 80 g mỗi chiều

Trong hệ quy chiếu gắn với cái đế, trọng lực không đứng yên: g_hd = g − a·ω²·cos(ωt). Với a = 10 mm và f = 45 Hz, số hạng thứ hai có biên độ 81 g: mỗi 1/45 giây, “trọng lực” quét từ 82 g hướng xuống sang 80 g hướng lên. Trung bình trọn chu kỳ nó vẫn đúng bằng g — nếu chỉ có thế, cây đũa vẫn phải đổ.

Chỗ tinh tế là thanh cũng rung theo, đúng nhịp ω và khoá pha với chính lực đã gây ra nó. Tích của một lực dao động với một độ lệch dao động cùng tần số không trung bình về 0 — phần dư ấy luôn kéo thanh về trục rung, và thanh chuyển động như thể sống trong thế năng:

U_hd(θ) = (g/L_qđ)·cos θ + (a²ω²/4L_qđ²)·sin²θ

Số hạng đầu là trọng lực, cực đại đúng tại θ = 0 — đỉnh đồi mà thanh chực lăn xuống; số hạng sau, do rung sinh ra, cực tiểu cũng tại θ = 0. Đỉnh đồi thành đáy hố khi vế sau thắng vế trước:

(a·ω)² > 2·g·L_qđ

Cả cái ngưỡng nằm gọn trong một vận tốc: 1,98 m/s

Tích a·ω chính là tốc độ đỉnh của cái đế, và ngưỡng √(2 × 9,81 × 0,20) = 1,98 m/s cho cây đũa 30 cm (L_qđ = 0,20 m). Đi đường nào tới đó là việc của bạn: biên độ 10 mm cần 31,5 Hz, còn 20 mm chỉ cần 15,8 Hz. Vì thế trò biểu diễn kinh điển của giảng đường chỉ cần một cái máy cưa lọng — 3 000 nhát mỗi phút là 50 Hz, hành trình lưỡi 20 mm cho a = 10 mm, ra 3,14 m/s, vừa đủ dựng ngược một thanh dài tới 75 cm.

Nó không chỉ đứng yên, nó còn tự bò về

Vị trí thẳng đứng ở đây không phải điểm cân bằng mong manh mà là đáy một cái hố thật: gạt thanh nghiêng rồi buông, nó leo ngược lên, miễn là chưa quá góc θ_max với cos θ_max = (1,98 / (a·ω))² — ở 45 Hz và 10 mm là 60,6°, còn ngay tại ngưỡng 31,5 Hz thì bằng 0. Bàn tay bạn giữ chổi bằng phản hồi: mắt đo, não tính, tay bù; cái đế rung không đo gì hết, chẳng biết thanh đang ngả bên nào. Ổn định ở đây mua bằng chuyển động nhanh, hệt như bánh xe quay tít từ chối đổ — chỉ khác là con quay trả bằng mô-men động lượng, còn ở đây nhịp lắc riêng của con lắc bị một nhịp nhanh gấp bốn mươi lần đè lên.

Trường hợp biên: rung chậm lại thì bất đẳng thức nói dối

Kéo thanh xuống 7 cm rồi vặn biên độ lên 30 mm: bất đẳng thức tuyên bố chỉ cần 5,1 Hz là đứng vững, thực tế nó đổ như thường. Phép trung bình hoá dựng trên giả định ω ≫ ω₀ = √(g/L_qđ), mà mẩu 7 cm có ω₀ = 14,5 rad/s còn 5,1 Hz mới là 32,0 rad/s — gấp 2,2 lần, không ai gọi thế là “rất lớn hơn”; biên độ 30 mm lúc đó cũng bằng 43% chiều dài thanh. Vạch cam trong demo đánh dấu đúng ranh giới ấy: bên trái nó, dòng chữ “ĐỨNG VỮNG” là chữ rỗng.

Bức tường phía bên kia là gia tốc: ngay tại ngưỡng, đỉnh gia tốc của đế bằng 2·L_qđ/a lần g — 40 g với cây đũa 30 cm ở biên độ 10 mm, 101 g với máy cưa lọng 50 Hz. Đó là lý do thanh phải bắt bản lề vào đế: vật chỉ đặt lên mặt đế đã tách ra từ 5,0 Hz ở biên độ 10 mm, và khắp vùng đứng vững của demo thì đỉnh gia tốc không bao giờ xuống dưới 2,6 g. Cây đũa muốn đứng ngược vẫn phải có người giữ chân nó; chỉ mỗi phần thẳng đứng là nó tự lo.