Buộc chùm chìa khoá vào sợi dây rồi quay cho nó chạy vòng tròn đều, vẽ trong không khí một hình nón. Dây dài hay ngắn, chìa nặng hay nhẹ đều không đổi được một điều: giữ đúng 60 vòng mỗi phút thì mặt phẳng quay luôn nằm thấp hơn ngón tay bạn đúng 24,85 cm.
Khối lượng biến mất ngay ở dòng thứ hai
Quả nặng chỉ chịu hai lực: trọng lượng mg kéo thẳng xuống và sức căng T dọc dây. Phương đứng cân bằng — T·cosθ = mg — còn phương ngang thì không: nó là lực hướng tâm giữ vật trên vòng tròn bán kính r = L·sinθ, tức T·sinθ = m·ω²·L·sinθ. Chia hai dòng cho nhau, m biến mất; nhân lại với L, L cũng biến mất:
h = g / ω² với ω = 2π · (vòng/phút) / 60
cos θ = h / L (chỉ có nghiệm khi h ≤ L)Còn lại đúng một biến. 60 v/p cho h = 24,85 cm; 120 v/p không cho một nửa mà cho 6,21 cm — đúng một phần tư, vì h đi theo 1/ω². Và đây là kết quả chính xác, không phải gần đúng góc nhỏ như chu kỳ con lắc đơn: dây 40 cm quay 60 v/p mở góc tới 51,6° mà công thức không sai một chữ số. Kéo dây lên 1 m, góc thành 75,6°, vòng tròn rộng gấp ba — chiều cao nón vẫn đúng 24,85 cm.
Cùng một tam giác với khúc cua nghiêng
Chia hai lực theo kiểu khác thì được tanθ = ω²r/g — chính là công thức đường cong nghiêng, nơi mặt đường nghiêng đi thay cho sợi dây. Cũng vì m đã biến mất mà đu quay dây văng treo người lớn 70 kg và đứa trẻ 25 kg ngồi cạnh nhau ở cùng một góc: hình dạng chỉ hỏi ω và bán kính, y như trọng lực nhân tạo trên vành trạm quay. Khối lượng không vô dụng, nó chỉ chuyển sang cột khác: dây 40 cm quay 60 v/p, quả nặng 0,2 kg kéo dây 3,16 N — 1,61 lần trọng lượng của nó, đúng bằng 1/cosθ; đổi sang quả 2 kg, lực căng gấp mười mà hình nón không nhúc nhích một milimét.
Chiếc đồng hồ giấu trong chiều cao nón
Viết h = g/ω² theo thời gian một vòng thì được t = 2π·√(h/g) — đúng từng ký tự công thức chu kỳ của con lắc đơn dài h. Hình nón quay một vòng mất đúng bằng thời gian một con lắc thường dài bằng chiều cao nón của nó đi hết một chu kỳ. Một vòng mỗi giây ↔ 24,85 cm; chậm còn 30 v/p, tức hai giây một vòng, h nhảy lên 99,40 cm — chính là chiều dài quả lắc giây trong đồng hồ quả lắc.
Watt cho công thức này đi làm ca nhà máy
Năm 1788, xưởng Boulton–Watt treo lên máy hơi nước hai quả cầu trên khớp quay và cho trục máy quay chúng: con lắc nón đi làm nghề điều khiển. Máy nhanh lên, ω tăng, h tụt, hai quả cầu bay ra ngoài kéo ống trượt lên, van hơi khép bớt — toàn bộ luật điều khiển gói trong dòng h = g/ω².
Con số cho thấy vì sao nó chạy được: lệch 10% tốc độ (60 → 66 v/p) làm h rơi từ 24,85 xuống 20,54 cm — mặt phẳng quay dâng lên 4,31 cm, thừa hành trình để cần gạt khép van; lệch 1% vẫn còn 4,9 mm. Điều phản trực giác nằm ở chỗ khác: quả cầu nặng hơn không làm máy chạy chậm hơn — muốn đổi tốc độ đặt phải đổi tỉ số truyền, đổi khối lượng chỉ đổi lực đẩy ống trượt. Đám máy ấy hay “săn” tốc độ, dao động quanh điểm đặt, đủ phiền để năm 1868 Maxwell viết hẳn một bài toán về chúng — bài báo ngành điều khiển nhận làm mốc khai sinh.
Trường hợp biên: dưới 47,3 vòng/phút thì hình nón không tồn tại
Quay chậm dần, h phình ra tới lúc nó đòi dài hơn cả sợi dây. Dây 40 cm có ngưỡng ω = √(g/L), tức 47,3 v/p: ở 47 v/p công thức đòi h = 40,5 cm — vô nghiệm; nhích lên 48 v/p, nón mở ra ở góc 13,9°. Dưới ngưỡng không tồn tại hình nón nào dù bạn khéo tay đến đâu, thứ tiếp quản là con lắc phẳng đung đưa qua lại. Dây 1 m hạ ngưỡng xuống 29,9 v/p.
Đầu kia của thang không có ngưỡng, nhưng có một tiệm cận tàn nhẫn: θ tiến tới 90° và không bao giờ chạm, vì luôn cần một thành phần thẳng đứng gánh mg — dây không thể nằm ngang. Ở 200 v/p với dây 40 cm, góc đã là 86,8°, lực căng bằng 17,9 lần trọng lượng, còn cả hình nón cao vỏn vẹn 2,24 cm: lệch 1% tốc độ chỉ hạ nó thêm 0,44 mm, không cơ cấu cơ khí nào cảm nổi. Bộ điều tốc kiểu Watt vì thế mù dần khi máy chạy nhanh, và thế hệ sau phải thay trọng lực bằng lò xo — lò xo muốn cứng bao nhiêu cũng được, còn g thì Trái Đất đã chốt sẵn ở 9,81.