Treo chùm chìa khoá lên một sợi cước câu cá, xoắn một vòng rồi buông tay: nó quay tới quay lui, chậm và đều, cả chục lượt mới chịu đứng yên. Đổi sang cuộn cước cùng loại nhưng dày gấp đôi, vẫn chùm chìa khoá ấy, giờ nó giật qua giật lại nhanh gấp bốn. Bốn là căn bậc hai của con số thật sự đang chỉ huy:
Ba thừa số r nhân với nhau
Xoắn một sợi dây tròn, mỗi vành vật liệu bên trong chống lại theo ba kênh
nhân lên nhau: vành càng xa tâm càng bị trượt nhiều (∝ r), chu vi càng dài
nên diện tích càng lớn (∝ r·dr), tay đòn với trục cũng càng xa (∝ r). Ba
thừa số r cộng dồn từ tâm ra mép cho r⁴:
κ = π·G·d⁴/(32·L)G là mô-đun trượt của vật liệu — thép 79 GPa. Cùng thép, cùng dài 1 m: dây
0,25 mm cho κ = 3,03×10⁻⁵ N·m/rad; 0,5 mm cho 4,85×10⁻⁴; 1 mm cho 7,76×10⁻³;
2 mm cho 0,124. Mỗi lần gấp đôi đường kính, cột số nhảy 16 bậc một, trong
khi chiều dài chỉ chia theo tỉ lệ thẳng: muốn sợi 1 mm mềm bằng sợi 0,5 mm,
bạn phải kéo nó dài 16 mét. Cũng vì r⁴ mà nửa bán kính phía trong chỉ
gánh 1/16 độ cứng xoắn — trục truyền động và khung xe đạp làm rỗng ruột
chính là bỏ đi phần vật liệu lười nhất.
Cứng gấp mười sáu, nhưng chỉ nhanh gấp bốn
Mô-men hồi phục tỉ lệ thẳng với góc xoắn — đúng dạng định luật Hooke viết cho góc — nên chuyển động là dao động điều hoà thuần tuý:
T = 2π·√(I/κ), với I = 2·m·r²Hai quả 50 g cách trục 10 cm cho I = 1,00×10⁻³ kg·m². Treo lên sợi 0,5 mm
dài 1 m: T = 9,02 giây. Đổi sang sợi 1 mm, κ nhân 16 nhưng chu kỳ chỉ
chia cho căn của 16 — còn 2,26 giây.
Đây là chỗ con lắc xoắn khác hẳn con lắc đơn, nơi khối lượng triệt tiêu sạch khỏi công thức. Trục thẳng đứng thì thanh ngang không sinh nổi mô-men trọng lực nào quanh trục, nên khối lượng ở đây chẳng có gì để triệt tiêu với: nhồi mỗi đầu 200 g thay vì 50 g, chu kỳ kéo lên 18,05 giây; hoặc giữ nguyên khối lượng mà dời hai quả ra 20 cm, cũng đúng 18,05 giây, vì I đếm theo r².
Biên độ thì vẫn không được tính công, và ở đây “biên độ nhỏ” rộng đến bất ngờ: xoắn trọn một vòng, mặt ngoài sợi 0,5 mm mới chịu 124 MPa ứng suất trượt. Quay hơn bốn vòng rồi buông, mỗi chu kỳ vẫn đúng 9,02 giây.
Thanh xoắn dưới gầm xe, dây tóc trong đồng hồ
Cùng công thức, đổi thang. Thanh thép đặc 25 mm dài 1 m — hệ thống treo thanh xoắn của xe bọc thép — cho κ = 3 030 N·m/rad; qua tay đòn bánh xe 30 cm thành 33,7 N/mm, đúng dải độ cứng lò xo ô tô, và một góc xe nặng 400 kg ngồi lún 117 mm. Muốn mềm đi một phần tư, kỹ sư không kéo thanh dài thêm một phần ba — họ gọt đường kính đi 7%.
Đầu kia của thang là dây tóc bánh lắc trong đồng hồ cơ: lá thép mỏng cuộn xoắn ốc, đập 8 nhịp mỗi giây (28 800 nhịp/giờ), chu kỳ 0,25 giây. Lá dẹt thì độ cứng theo lũy thừa ba của bề dày chứ không phải bốn — nhẹ hơn một bậc, vẫn đủ khắc nghiệt: cán dày thêm 1% là đồng hồ chạy nhanh thêm 21 phút mỗi ngày.
Trường hợp biên: mỏng tới mức sợi dây thành vấn đề
Kéo đường kính xuống 0,05 mm — mảnh bằng sợi tóc — thì công thức vẫn đứng vững: κ tụt 10 000 lần còn 4,85×10⁻⁸ N·m/rad, chu kỳ giãn ra 15 phút. Vật liệu mới là bên đầu hàng. Chính sợi ấy treo 100 g đã chịu ứng suất kéo 500 MPa, sát ngưỡng chảy của thép dây thường: nó dão dần theo giờ, điểm không trôi đi trong lúc bạn còn đang bấm giờ; và dao động tắt dần vì cản không khí nuốt gần hết biên độ trước khi bạn đếm xong ba chu kỳ.
Dưới cùng là cái sàn không ai gọt qua được: với κ = 4,85×10⁻⁸, phân bố đều
năng lượng cho mỗi bậc tự do đúng ½·k_B·T, tức góc xoắn nhiễu nhiệt
θ = √(k_B·T/κ) = 0,29 micro-radian — hai đầu thanh tạ tự rung 29 nanomét
chỉ vì phòng đang ở 20 °C. Cavendish năm 1798 đâm thẳng vào bức tường ấy khi
đem cân xoắn ra đo hằng số hấp dẫn: ông nhốt cả bộ cân trong hộp gỗ kín rồi
đọc thước qua kính viễn vọng từ phòng bên — không phải vì cầu kỳ, mà vì hơi
thở của chính người quan sát đủ sức đánh bại phép đo.