Đi đều tay ga, ảnh trong gương chiếu hậu sắc nét. Vặn thêm một chút, tới đúng một khoảng tua máy, cái gương biến thành vũng cháo — rồi vặn tiếp nữa, nó lại nét như cũ. Không có gì lỏng ra rồi tự siết lại trong hai giây ấy:
Cần gương là một cái lò xo 15 080 N/m
Cần gương là dầm công-xôn: một đầu ngàm chặt vào tay lái, đầu kia mang cả khối gương. Thanh thép đặc đường kính 8 mm có mômen quán tính tiết diện I = πd⁴/64 = 2,01×10⁻¹⁰ m⁴; với E = 200 GPa và chiều dài 20 cm, độ cứng ngang ở đầu tự do là k = 3EI/L³ = 15 080 N/m — nghe to, nhưng đầu gương 150 g vẫn kéo nó võng 0,098 mm mà bạn chẳng bao giờ nhìn thấy.
Ghép khối lượng vào lò xo là có ngay một tần số riêng:
f₀ = (1/2π)·√(3EI / mL³) với I = πd⁴/64Thay số: f₀ = 50,5 Hz. Nhân 60 để đổi sang ngôn ngữ đồng hồ tua máy — 3 028 vòng/phút.
Vì sao chỉ đúng một tua máy chứ không phải mọi tua máy
Động cơ một xi-lanh không quay êm. Piston lao lên rồi phanh lại mỗi vòng trục khuỷu, phần quán tính không cân bằng hết đẩy cả chiếc xe lắc một nhịp mỗi vòng quay. Ở 3 000 v/p, nhịp ấy là 50 Hz, lệch nửa hertz so với cần gương — và cú hích nhỏ đúng nhịp thắng cú hích lớn sai nhịp.
Với hệ số cản ζ ≈ 0,05 của một khớp ren có đệm cao su, biên độ đầu cần bằng 1/√((1−r²)² + (2ζr)²) lần biên độ chân cần. Ở 3 000 v/p: 9,9 lần; ở 2 000 v/p còn 1,8; ở 6 000 v/p còn 0,34 — chạy nhanh hơn tua cộng hưởng thì gương nét hơn cả lúc chạy chậm. Vùng khuếch đại quá 3 lần trải từ 2 491 tới 3 469 v/p: chưa tới 1 000 vòng/phút, một khe hẹp mà bạn vô tình đỗ vào mỗi khi giữ đều tay ga.
Từ nửa milimét rung thành mười lăm centimet nhoè
Gương phản xạ góc chứ không phản xạ vị trí — đó là chỗ nửa milimét trở nên đáng sợ. Dạng uốn của dầm công-xôn có độ dốc ở đầu tự do bằng 1,5 lần biên độ chia chiều dài: tay lái rung 0,05 mm, đầu cần rung 0,5 mm, mặt gương lắc 1,5 × 0,5/200 = 3,75 mrad, và tia phản xạ lệch gấp đôi góc gương — 7,5 mrad.
Đó là 26 phút cung, trong khi mắt người phân giải khoảng một phút cung: ảnh bị bôi ra gấp 26 lần giới hạn nhìn của bạn, chiếc xe chạy sau cách 20 m kéo thành vệt dài 15 cm. Vì chuyện này lặp 50 lần mỗi giây, võng mạc không tách nổi từng khung — bạn không thấy gương rung, bạn thấy gương mờ.
Chiều dài là nút vặn duy nhất thật sự có tác dụng
f₀ đi theo L^(−3/2): rút cần từ 20 xuống 15 cm — ngắn đi một phần tư — đẩy tần số riêng lên 77,7 Hz, tức 4 662 v/p, ra hẳn khỏi khoảng tua chạy phố. Đường kính còn bạo hơn, I tỉ lệ d⁴ nên f₀ tỉ lệ d², đúng luật lũy thừa bốn đang điều khiển mọi con lắc xoắn. Khối lượng là nút yếu nhất, chỉ theo m^(−1/2): dán thêm 50 g vào đầu gương hạ f₀ còn 43,7 Hz và dời vùng mờ về 2 622 v/p — đủ đổi khoảng tốc độ khó chịu, không đủ xoá nó.
Công thức trên coi cần gương nhẹ không đáng kể, và đó là chỗ nó nói dối: thanh thép ấy nặng 78,9 g, mà dầm công-xôn góp vào đầu tự do 0,2427 phần khối lượng của chính nó — 19,2 g. Cộng vào 150 g, tần số riêng thật tụt còn 47,5 Hz = 2 851 v/p, thấp hơn 6%.
Trường hợp biên: ba vùng mờ trên cùng một chiếc xe
Động cơ không chỉ lắc một nhịp mỗi vòng. Cơ cấu tay quay sinh thêm lực quán tính bậc hai lắc gấp đôi tần số quay, còn động cơ bốn thì nổ một lần mỗi hai vòng nên có cả thành phần bậc nửa. Kích thích bậc n cộng hưởng ở 60f₀/n vòng/phút, nên cùng một cần gương 50,5 Hz cho ba vùng mờ trên một đồng hồ tua: 1 514, 3 028 và 6 055 v/p. Hai vùng ngoài nông hơn vì nguồn lắc yếu hơn, nhưng chúng là lý do một chiếc xe mờ gương cả lúc bò trong phố lẫn lúc vượt trên quốc lộ.
Thứ duy nhất không dời được vùng nào là siết ốc chặt hơn: siết không đổi E, I, L hay m — nó chỉ chống lỏng khớp, mà khớp không lỏng vẫn giữ nguyên tần số riêng cũ. Lót thêm cao su vào chân gương mới là canh bạc thật sự: đệm mềm kéo tần số riêng xuống, mà dưới ngưỡng √2 lần tần số kích thích thì cách ly rung làm rung mạnh thêm — rất có thể bạn vừa dời đúng vùng mờ vào tua mình chạy nhiều nhất.