Đứng chờ đèn đỏ, bạn tin mình đang đứng yên. Cởi giày ra mà nhìn: gân bàn chân căng lên rồi chùng xuống vài lần mỗi giây, không nghỉ. Bạn không đứng — bạn đang ngã, và bắt lại kịp, liên tục:

Trái: người nhìn ngang, bàn chân vẽ đúng tỉ lệ với thân, mắt cá nằm ở khoảng 1/4 bàn chân tính từ gót. Hai tia là hai tư thế tới hạn — trọng tâm rơi đúng mép gót (đỏ) và đúng mũi chân (cam). Phải: góc nghiêng theo thời gian. Đường cong là cosh chứ không phải sin: nó không quay lại, chỉ vọt đi, và vạch đứng là lúc mắt cá hết đường cứu.

Treo xuống thì đung đưa, dựng lên thì bỏ chạy

Con lắc treo có một đặc ân: lệch bao nhiêu, trọng lực sinh mô-men kéo về bấy nhiêu — θ̈ = −θ/τ², nghiệm là sin, và chu kỳ gần như không đổi theo biên độ. Dựng con lắc ấy lên, gót chân xuống đất, thì đúng một dấu trừ biến mất: trọng tâm nằm trên điểm tựa, nên lệch bao nhiêu thì mô-men lật đi bấy nhiêu, θ̈ = +θ/τ². Sin thành cosh, dao động thành bỏ chạy.

θ(t) = θ₀ · cosh(t/τ)     với    τ = √(2H/(3g))

Coi cơ thể là thanh đồng chất cao H quay quanh mắt cá, τ chỉ phụ thuộc chiều cao: người 1,70 m có τ = 0,34 giây. Cùng con số ấy, treo ngược xuống thì cho chu kỳ đung đưa 2πτ = 2,14 giây — êm ả; dựng lên, nó thành thời gian nhân đôi: mỗi 0,24 giây góc nghiêng của bạn tăng gấp đôi. (Trọng tâm người thật ở 55% chiều cao chứ không phải 50%: mô hình đầy đủ cho τ ≈ 0,35 s, lệch 3%.)

6,5 cm phía sau, 19,5 cm phía trước

Cái cứu bạn là bàn chân: chừng nào hình chiếu trọng tâm còn rơi trong lòng bàn chân, mắt cá còn dời được tâm áp lực ra đón mà kéo về. Nhưng mắt cá không nằm giữa bàn chân — nó ở khoảng một phần tư tính từ gót, nên bàn chân 26 cm chỉ có 6,5 cm dự trữ phía sau, 19,5 cm phía trước.

Trọng tâm cao 0,85 m, điều kiện lật là sin θ = d/h: ngã ngửa bắt đầu ở 4,4°, ngã sấp mãi tới 13,3°. Cho cả hai cùng một cú lệch ban đầu nửa độ — đúng cỡ biên độ lắc của người đứng bình thường — rồi bấm giờ: 0,97 giây để hết mép gót, 1,35 giây để hết mũi chân. Ngã ngửa nguy hiểm hơn hẳn vì thế: quỹ thời gian ngắn hơn một phần ba, lại rơi đúng về hướng duy nhất mắt bạn không nhìn thấy.

Dây thần kinh dài hơn cái đồng hồ 0,34 giây

Phản xạ căng cơ ở cẳng chân mất khoảng 0,1 giây, vòng sửa lỗi có mắt tham gia mất chừng 0,2 giây — dẫn truyền thần kinh có tốc độ hữu hạn. Trong 0,1 giây ấy sai số đã nhân 1,34 lần, trong 0,2 giây nhân 1,80 lần: lệnh sửa luôn về muộn, và luôn về với một cái lỗi lớn hơn cái lỗi nó được tính cho. Hệ thần kinh vì thế buộc phải sửa dư, đẩy bạn vượt qua phương thẳng đứng sang phía bên kia — đó chính là chuỗi ngã nối nhau. Quy mô thì tí hon: nghiêng 0,5° chỉ dời trọng tâm ngang 7,4 mm, nên suốt ngày bàn chân 26 cm của bạn làm mỗi một việc là canh vài milimét.

Trẻ con lảo đảo vì đồng hồ chạy nhanh hơn

τ tỉ lệ với căn bậc hai chiều cao. Đứa trẻ 1,10 m có τ = 0,27 giây; bàn chân 18 cm cho nó ngưỡng ngã ngửa 4,7°, rộng hơn người lớn chút ít vì bàn chân trẻ dài hơn theo tỉ lệ chiều cao — nhưng đồng hồ chạy nhanh vẫn thắng: từ nửa độ tới ngưỡng chỉ 0,80 giây, ít hơn người lớn 18%, mà phải giải bằng bộ dây thần kinh chưa bọc myelin xong.

Trường hợp biên: khi mắt cá hết mô-men

Người ta hay bảo cosh chỉ đúng cho góc nhỏ. Thực ra tích phân số phương trình đầy đủ θ̈ = (3g/2H)·sin θ cho thời gian chạm ngưỡng lệch khỏi công thức trên đúng 0,03% trong toàn dải slider: toán học không phải thứ hỏng trước. Hỏng trước là cơ bắp — dồn tâm áp lực ra tận mũi chân đòi mắt cá sinh 1,9 N·m cho mỗi kg cân nặng (134 N·m ở người 70 kg), sát trần mô-men gập bàn chân của người khoẻ.

Qua ngưỡng đó, cơ thể bỏ luật chơi cũ: gập hông lấy quán tính, rồi bước một bước — thôi dời tâm áp lực mà dời hẳn điểm tựa, một bài toán khác. Người già ngã không phải vì yếu mà vì bước ra chậm hơn chừng ba phần mười giây, và trong ba phần mười giây ấy cosh đã kịp nhân góc nghiêng lên 2,4 lần. Muốn thắng cái dấu cộng ấy mà không cần cơ nào cả thì chỉ còn một cửa: rung điểm tựa thật nhanh — khi ấy cosh hoá lại thành sin, và con lắc ngược tự đứng.