Sân chơi vắng, không ai đứng sau lưng bạn. Bạn đứng lên ở điểm thấp nhất, ngồi xuống ở hai đầu vòng cung — và xích đu cứ cao dần. Không bàn tay nào chạm vào bạn, trục trên xà không có động cơ. Năng lượng vào bằng cửa nào?
Đứng lên ở đáy: xích ngắn lại, và bạn không được phép chậm đi
Vận động viên trượt băng thu tay vào thì xoay nhanh hơn; bạn đang làm y hệt, chỉ khác trục quay nằm trên xà sắt. Đứng lên ở đáy là kéo trọng tâm vào gần trục dọc theo dây — lực kéo trùng phương bán kính nên không sinh mômen lực, và mômen động lượng m·l²·ω phải giữ nguyên:
đứng lên ở đáy: l₁ = 2,50 m → l₂ = l₁ − Δ = 2,20 m
mômen động lượng: m·l₁²·ω₁ = m·l₂²·ω₂
tốc độ dài: v = l·ω nhân l₁/l₂ = 1,136
động năng: nhân (l₁/l₂)² = 1,291Khoản 29% ấy không rơi từ trời xuống. Ở đáy vòng cung 30° bạn nặng 1,27 lần bình thường — lực hướng tâm cộng vào trọng lực — và cơ đùi phải nâng cả cái trọng lượng phóng đại đó lên 30 cm; ở biên độ 60° con số đúng bằng 2 g. Cảm giác nặng trịch mỗi lần qua đáy chính là cái vòi bơm.
Trọn một nhịp thì lãi 1,467, không phải 1,291
Xích ngắn lại còn làm hai chuyện nữa. Một: cùng một năng lượng, con lắc ngắn vung được góc lớn hơn, vì thế năng ở biên là m·g·l·(1 − cos θ). Hai: cú ngồi xuống ở hai đầu là lãi chứ không lỗ — ở đó bạn đứng yên nên không mất động năng nào, trọng tâm tụt Δ nhưng đáy vòng cung mới cũng tụt đúng Δ, còn bạn chỉ thấp đi Δ·cos θ; phần chênh Δ(1 − cos θ) là lãi ròng.
Gộp cả ba, luật cho trọn một nhịp đúng với mọi biên độ, không cần gần đúng góc nhỏ:
(1 − cos θ) nhân (l₁/l₂)³ = 1,467 mỗi nhịpĐồ thị bậc thang trong demo là hàm ấy, và nó giải thích vì sao mấy nhịp đầu nản đến thế: từ 5°, ba nhịp mới được 8,9°, sáu nhịp mới 15,8° — rồi vượt 30° ngay ở nhịp thứ 10. Trừ 5% hao mỗi nhịp cho cản không khí và ma sát trục thì mất 11 nhịp, mỗi nhịp 1,54 giây: chưa tới 17 giây kể từ cú đẩy mồi.
Bạn nhún hai lần mỗi vòng, không phải một
Chu kỳ con lắc 2,5 m là 3,17 s, nhưng xích đu đi qua đáy hai lần mỗi chu kỳ — nên cơ thể bạn phải lên xuống ở tần số gấp đôi tần số xích đu. Tỉ lệ 2:1 ấy là chữ ký của cộng hưởng tham số, và là chỗ trò này khác hẳn việc có người đẩy sau lưng: người đẩy bơm lực vào hệ, mỗi chu kỳ một cú đúng pha với vận tốc; bạn không đẩy gì hết, bạn lắc một tham số của hệ — chiều dài — ở tần số gấp đôi.
Hoá đơn gửi về cơ đùi
Đứa trẻ 30 kg đu ở 30° mang trong mình 98,6 J và mỗi nhịp nạp thêm 46 J — chia cho 1,54 giây là 30 W. Nhưng cơ đùi trả nhiều hơn thế: ở đáy nó đẩy lên 117 J (88 J nâng chính mình 30 cm, cộng 29 J động năng dôi ra), rồi ở hai đầu nhận lại 71 J dưới dạng hạ người có kiểm soát. Khoản hoàn lại ấy tỉ lệ với cos của biên độ mới nên teo dần theo độ cao: ở 30° bạn đòi lại 80% khoản đã nâng, lên 60° chỉ còn 27%. Đu càng cao càng mệt không phải vì bạn yếu đi — vì trọng lực ngừng trả tiền.
Trường hợp biên: nhân 1,467 với số không vẫn ra số không
Công thức có một điểm mù tuyệt đối: 0 nhân 1,467 vẫn bằng 0. Cộng hưởng tham số khuếch đại, nó không khởi động — ngồi im tuyệt đối rồi đứng lên ngồi xuống theo nhịp nào cũng vô ích, vì không có vận tốc ở đáy thì chẳng có động năng nào để nhân. Bạn buộc phải xin một cú đẩy, hoặc đạp một cái xuống đất.
Ngưỡng thật ra nằm cao hơn số không. Đặt mức thu (l₁/l₂)³ cạnh mức hao ~5% mỗi nhịp: trên xích 2,5 m bạn phải nâng trọng tâm ít nhất 4,2 cm thì hai vế mới hoà, dưới đó xích đu chỉ còn một đường là tắt dần. Ngay sát trên ngưỡng cũng chẳng vui: kéo Δ về 5 cm, xích đu vẫn lớn lên thật — sau 383 nhịp, tức mười phút nhún không nghỉ.
Đầu kia, phép nhân đâm vào tường ở 90°: tại điểm dừng, lực căng xích bằng m·g·cos θ, quá 90° số ấy đổi dấu — xích chùng, bạn rơi tự do thay vì vung theo cung tròn. Vòng tròn trọn vẹn là đặc quyền của ghế đu gắn thanh cứng; xích đu sân chơi có trần cứng, đúng một phần tư vòng.