Cầm điện thoại nằm ngang, tung nhẹ cho nó lộn nhào đầu-đuôi một vòng rồi bắt lại: màn hình đã úp xuống. Làm lại mười lần, mười lần lật. Nhưng xoay nó quanh trục dọc thân máy như xiên nướng, hay quay dẹt như đĩa ném, thì không lần nào lật cả:
Ba trục, và đúng một trục phản bội
Mọi vật rắn đều có ba trục quán tính chính vuông góc nhau. Chiếc điện
thoại 15×7×0,8 cm nặng 200 g cho ba mô-men quán tính khác hẳn nhau: quanh
trục dọc thân máy I₁ = 8,27·10⁻⁵, quanh trục song song cạnh 7 cm
I₂ = 3,76·10⁻⁴, quanh trục xuyên màn hình I₃ = 4,57·10⁻⁴ kg·m² — như
cuộc đua vật lăn, tất
cả nằm ở chỗ khối lượng được xếp xa trục bao nhiêu.
Đưa ba số ấy vào phương trình Euler cho vật quay tự do rồi hỏi “lệch trục một chút thì sao”, bạn nhận hai câu trả lời trái ngược. Quanh trục có I nhỏ nhất và trục có I lớn nhất, sai lệch chỉ dao động quanh vị trí cũ. Quanh trục ở giữa, nó lớn theo hàm mũ:
σ = ω·√( (I₂−I₁)(I₃−I₂) / (I₁·I₃) )Hai thừa số trong ngoặc cùng dương chỉ khi I₂ nằm giữa; với hai trục kia biểu thức đổi dấu và căn bậc hai thành số ảo. Đó là toàn bộ định lý: ba thanh trong demo, hai thanh đúng bằng 0, một thanh đỏ.
Một độ thành chín mươi độ sau 0,45 giây
Tung 2 vòng/giây, tức ω = 12,57 rad/s, điện thoại cho σ = 9,94 1/s:
sai lệch đi theo θ(t) = θ₀·e^(σt), cứ 70 mili-giây là nhân đôi. Bạn
không bao giờ thả tay hoàn hảo — cho 1° lệch ban đầu, đã rất khéo — thì
ln(90)/σ = 0,45 giây là đủ để nó thành 90°.
Ở 2 vòng/giây, 0,45 giây mới được 0,91 vòng. Cú lật xong trước khi máy quay hết một vòng, nên bạn chẳng kịp thấy giai đoạn “hơi nghiêng” nào. Mỗi vòng khuếch đại sai lệch 144 lần: vòng đầu biến 1° thành 90°, và không có vòng thứ hai.
Tung chậm lại không mua thêm được vòng nào
σ tỉ lệ thuận với ω, nên tung chậm thì cú lật đến muộn hơn — nhưng số vòng trước khi lật không đổi một li: 0,91 vòng ở 0,5 vòng/giây, 0,91 vòng ở 5 vòng/giây. Kéo thanh trượt tốc độ mà xem — điểm đỏ chạy dọc trục thời gian, hàng số “vòng” bên dưới đứng yên. Vật quay không đếm giây.
Khối lượng cũng vô can — σ chỉ ăn tỉ số giữa ba mô-men. Còn khéo tay thì sao? Thả chuẩn gấp mười lần, lệch 0,1° thay vì 1°, chỉ mua thêm 0,46 vòng. Hàm mũ ăn mọi nỗ lực của bạn theo kiểu logarit: muốn quay trọn hai vòng, bạn phải thả chính xác tới 0,004°.
Cái đai ốc của Dzhanibekov
Tháng 6 năm 1985 trên trạm Salyut 7, nhà du hành Vladimir Dzhanibekov búng một con đai ốc tai hồng trôi trong khoang: nó quay một lúc, lật, rồi lại quay, lại lật. Đoạn phim khiến hiệu ứng mang tên ông, dù Euler đã viết ra phương trình từ thế kỷ 18 và dân quần vợt vẫn gọi nó là “định lý vợt tennis”.
Hình dáng đổi được tốc độ chứ không đổi được kết cục: chiếc thước dẹt 25×4,5 cm còn dữ hơn điện thoại — 0,76 vòng; ép về gần vuông thì hai mô-men xích lại gần nhau, tấm 15×14 cm cầm cự được 2,74 vòng.
Trường hợp biên: khi vật không còn cứng
Kéo chiều rộng lên đúng 15 cm, thành tấm vuông: I₁ = I₂, thanh đỏ biến mất, σ = 0 tuyệt đối — không còn trục nào “ở giữa” để mà mất ổn định. Đĩa tròn, hình trụ, quả bóng cũng vậy. Đó là lối thoát duy nhất, và ngành vệ tinh đã trả học phí để biết.
Vì ngoài đời chẳng vật nào cứng tuyệt đối. Ăng-ten rung, nhiên liệu sóng sánh, kim loại uốn — tất cả đều tiêu tán năng lượng, trong khi momen động lượng thì được bảo toàn. Với L cố định, động năng quay bằng L²/(2I), nên vật càng mất năng lượng càng trôi về trục có I lớn nhất: điện thoại quay dẹt tốn ít hơn quay dọc thân tới 82%. Vệ tinh Explorer 1 phóng tháng 2 năm 1958 được cho quay quanh trục dọc — ổn định theo định lý trên, nhưng lại là trục I nhỏ nhất. Bốn cần ăng-ten mềm rung nhẹ, và chỉ vài giờ sau nó nằm ngửa quay dẹt, mất luôn hướng ngắm. Luật ngành đổi hẳn từ đó: vệ tinh quay ổn định phải quay quanh trục béo nhất của nó. Còn cú lật trên tay bạn thì con quay MEMS trong máy ghi lại trọn vẹn — nó chỉ chờ bạn tung thêm lần nữa.