Đẩy một cuốn sách ra khỏi mép bàn: quá nửa thân là nó lật. Nhưng chồng cuốn thứ hai lên rồi đẩy cả hai, thêm cuốn thứ ba — giới hạn “nửa thân” biến mất sạch. Chồng sách nhô ra xa bao nhiêu cũng được; chỗ tàn nhẫn nằm ở hoá đơn:
Cuốn thứ k tính từ trên chỉ mua thêm được L/(2k)
Điều kiện duy nhất để không đổ: ở mọi khe, trọng tâm của toàn bộ phần nằm trên khe đó phải rơi vào trong mép cuốn ngay dưới — vẫn là luật mô-men của cái xà beng, chỉ khác là ở đây bạn né nó chứ không khai thác nó.
Xếp từ trên xuống thì phép tính gọn lạ thường. Nếu k cuốn trên cùng đã cân bằng với trọng tâm chung ở điểm C, cuốn thứ k+1 phải đặt mép phải đúng tại C — nên tâm riêng nó nằm ở C − L/2, và trọng tâm của cả k+1 cuốn lùi lại đúng L/(2(k+1)). Cộng ngược từ đầu mút cuốn trên cùng xuống tới trọng tâm cả chồng — chỗ buộc phải nằm đúng mép bàn:
độ nhô = L/2 + L/4 + L/6 + … + L/(2n) = (L/2)·H_nH_n là tổng điều hòa 1 + 1/2 + … + 1/n. Sách khổ 20 cm: cuốn trên cùng lấn 10 cm, cuốn hai 5 cm, cuốn ba 3,33 cm, cuốn tư 2,5 cm — cộng lại 20,8 cm.
Bốn cuốn, và cuốn trên cùng không còn gì bên dưới ngoài không khí
20,8 cm với sách dài 20 cm nghĩa là 1,04 thân sách: mép trong của cuốn trên cùng đã ra ngoài mép bàn 8,3 mm, nó lơ lửng hoàn toàn trong không khí. Ba cuốn thì chưa — 0,92 thân, vẫn còn một mẩu tựa bàn; bốn là con số nhỏ nhất, và bạn dựng nó trên bàn ăn trong hai phút.
Kéo thanh trượt tiếp: 12 cuốn cho 31,0 cm, 40 cuốn cho 42,8 cm. Thang cột mốc tròn mới đáng nhớ — 1 thân sách cần 4 cuốn, 2 thân cần 31, 3 thân cần 227, 4 thân cần 1 674, 5 thân cần 12 367. Mỗi thân thêm vào nhân số cuốn lên hơn bảy lần, chính xác là e² ≈ 7,39.
Phân kỳ với tốc độ của một hàm logarit
H_n tăng mãi không chặn, nên trên lý thuyết mọi độ nhô đều với tới được. Có điều H_n ≈ ln n + 0,5772, đảo lại thì số cuốn cần có là hàm mũ của độ nhô. Muốn nhô 10 thân sách — đúng 2 mét — cần 272 triệu cuốn, và chồng ấy dày 3 cm mỗi cuốn nên cao 8 172 km, bằng 1,28 lần bán kính Trái Đất.
Vẫn là hàm logarit cai trị bản thiết kế tên lửa: thêm một lượng cố định ở đầu ra thì đầu vào phải nhân lên. Luật ở đây còn gọn hơn nữa — nhân đôi độ nhô là bình phương số cuốn: 3 thân tốn 227 cuốn, 6 thân đòi 91 380, bằng 227² nhân 1,77.
Vụng tay 2 mm gần như không tốn gì
Mô hình đòi trọng tâm nằm đúng mép: cân bằng phiếm định, biên an toàn bằng không, nghe như thứ chỉ sống được trên giấy. Nhưng chừa một khoảng ε ở mọi khe rồi tính lại, công thức chỉ đổi L/2 thành L/2 − ε — độ nhô còn (1 − 2ε/L) lần lý tưởng. Chừa hẳn 2 mm mỗi khe với sách 20 cm: bạn vẫn giữ được 98%. Trượt cũng không phải kẻ thù: mọi lực ở đây đều thẳng đứng, mà giấy trên giấy có hệ số ma sát ~0,4 — nghiêng bàn tới 22° mới trôi.
Thứ giết chồng sách thật là cỡ của bước đi. Cuốn thứ 12 chỉ được nhích 8,3 mm, cuốn thứ 50 nhích 2 mm, cuốn thứ 227 nhích 0,44 mm — nhỏ hơn độ vênh của một bìa sách mềm, nhỏ hơn sai số lúc bạn buông tay. Chuỗi điều hòa không đổ vì hết ý tưởng; nó chìm dần vào nhiễu.
Trường hợp biên: bỏ luật “mỗi tầng một cuốn”
Cả bài toán đứng trên một quy ước không phải vật lý: mỗi tầng đúng một cuốn. Cho phép xếp hai cuốn cạnh nhau làm đối trọng, luật tăng trưởng đổi hẳn: Paterson và Winkler dựng được năm 2006 những chồng nhô tỉ lệ n^(1/3) chứ không phải ln n, và chặn trên cùng bậc ấy được chứng minh ngay sau đó — n^(1/3) là mức trần thật. Giá cả lật ngược theo: nhân đôi độ nhô chỉ tốn gấp 8 lần số cuốn thay vì bình phương — luật luỹ thừa dù số mũ bé đến đâu rồi cũng bỏ logarit lại phía sau.
Nhưng luỹ thừa một phần ba là chuyện của vô cực. Ở cỡ bàn ăn, chồng một-cuốn-mỗi-tầng chưa bị bỏ xa: 100 cuốn xếp kiểu điều hòa đã cho 2,59 thân sách, còn với n nhỏ thì mấy cuốn làm đối trọng ăn gần hết phần thắng.