Cầu thủ chạy đà ba bước. Chân chưa chạm bóng thì thủ môn đã đổ người sang trái — và ai cũng thấy đó là đoán mò. Đúng là đoán mò, nhưng không phải vì anh ta thiếu bình tĩnh: vật lý không để lại cho anh ta lựa chọn nào khác.
Ngân sách 0,393 giây
Chấm phạt đền cách vạch vôi 11 m, và cú sút của một cầu thủ chuyên nghiệp rời chân ở cỡ 28 m/s — 101 km/h. Chia ra là xong: bóng qua vạch sau 0,393 giây — ngắn hơn một cái chớp mắt thong thả.
Thủ môn không được tiêu trọn ngân sách ấy. Thời gian phản xạ nhìn — vận động của người khoẻ mạnh là khoảng 0,20 s: ánh sáng vào võng mạc, tín hiệu leo lên vỏ não thị giác, não quyết định trái hay phải, rồi lệnh chạy ngược xuống cơ chân. Mỗi chặng là một đường truyền có độ trễ đo được, và tổng của chúng là hằng số sinh học bướng bỉnh đứng đầu cả công thức quãng đường phanh. Trong 0,20 giây ấy bóng đã bay 5,60 m, quá nửa đường, còn thủ môn vẫn đứng nguyên tại chỗ. Anh ta vào cuộc với 0,193 giây trong tay.
Cú bay hết cỡ chỉ mua được 22 centimét
Một cú đổ người là chuyển động có gia tốc từ đứng yên, nên trọng tâm dịch ngang được
x = ½ · a · t²Gia tốc ngang một thủ môn đạp chân bật ra được vào khoảng 12 m/s² — kiểm lại được: cùng gia tốc ấy, sau 0,65 giây trọng tâm dịch 2,5 m, đúng tầm một cú bay hết cỡ. Nhưng ở đây anh ta chỉ có 0,193 giây, và hàm bình phương trừng phạt điều đó không thương tiếc: 0,5 × 12 × 0,193² = 0,223 m. Hai mươi hai centimét.
Cộng tầm với ngang lúc đứng, khoảng 1,0 m từ thân ra đầu ngón tay, thủ môn chạm tới 1,22 m mỗi bên — một dải rộng 2,45 m, tình cờ đúng bằng chiều cao khung thành. Khung thành rộng 7,32 m, gấp ba chiều cao 2,44 m của nó. Phần còn lại: 4,87 m, chiếm 66,6% bề ngang, là vùng không cú bay nào với tới. Cứ ba mét vạch vôi thì hai mét không có người trông.
Bắp chân khoẻ không cứu được ai, phản xạ nhanh thì có
Bản năng nói: tập cho khoẻ hơn, bật mạnh hơn. Kéo thanh gia tốc trong demo từ 6 lên 16 m/s² — từ một thủ môn nghiệp dư tới một người bật như vận động viên nhảy xa — và vùng chết chỉ nhúc nhích từ 69,6% xuống 64,5%. Năm điểm phần trăm cho toàn bộ dải thể lực mà loài người có.
Bây giờ giữ nguyên thể lực và kéo thanh phản xạ: từ 0,35 s xuống 0,12 s, vùng chết đi từ 72,4% xuống 60,5% — gần 12 điểm, hơn gấp đôi. Thời gian nằm trong bình phương, thể lực chỉ nằm ngoài; rút bớt được vài phần trăm giây đáng giá hơn cả phòng tập. Muốn phủ kín cả khung bằng phản ứng thuần tuý, anh ta phải dịch thêm 2,66 m trong 0,193 giây: gia tốc 143 m/s², tức 14,6 g — mức cơ thể người không tạo ra nổi.
Mô hình còn hào phóng với thủ môn: nó cho anh ta gia tốc đầy đủ ngay từ mili-giây đầu, trong khi cú bay thật tiêu gần hết 0,19 giây ấy chỉ để nạp lực vào chân trụ. Chiều ngược lại, tính cả lực cản không khí thì bóng chậm dần, bay 0,417 giây, và vùng chết co còn 64,9%. Hai điểm phần trăm.
Trường hợp biên: khi thủ môn đoán trước, bài toán đổi môn
Thực tế khoảng một phần tư số quả phạt đền không thành bàn — cao hơn hẳn mức 66,6% vùng chết cho phép. Nghịch lý tự giải: thủ môn không chờ. Anh ta đổ người trước khi chân chạm bóng, đọc hướng mũi chân trụ và hông người sút, và bằng cách đó xoá luôn 0,20 giây phản xạ khỏi phương trình. Cái giá là đoán sai thì vùng chết không còn 66,6% mà là 100%.
Ngay khoảnh khắc ấy bài toán rời vật lý. Nó thành trò chơi hai người tổng bằng không, nghiệm tối ưu là một chiến lược hỗn hợp: cả hai phải ngẫu nhiên hoá lựa chọn, vì mọi thói quen đều bị đối phương khai thác. Đây là một trong vài chỗ hiếm hoi lý thuyết trò chơi được kiểm chứng ngoài đời — và cả hai bên ngẫu nhiên hoá gần đúng mức tối ưu.
Đầu kia của thanh trượt thì bất ngờ hơn. Sút chậm dưới 19 m/s (68 km/h) và vùng chết tụt xuống dưới một nửa; ở 15 m/s nó chỉ còn 26%. Cú “đặt lòng nhẹ vào góc” mà bình luận viên khen là an toàn hoá ra tự trả lại cho thủ môn đúng thứ anh ta thiếu — thời gian. Muốn vừa chậm vừa an toàn thì chỉ còn một cửa: bắt quả bóng đi vòng, để nó rời chân theo một hướng và chạm lưới theo hướng khác.