Biên bản nghiệm thu điện nhà bạn có một dòng nhỏ: điện trở nối đất ≤ 4 Ω. Thợ đóng cây cọc thép mạ đồng 2,4 m xuống vườn, kẹp đồng hồ, đọc lên: 40 ôm. Cọc mới, đất ẩm, mối kẹp siết chặt — vẫn gấp mười lần yêu cầu. Chỗ hỏng không nằm ở tay nghề, mà ở hình học:
Bốn mươi ôm ấy không nằm trong cây cọc
Tính riêng thanh thép: tiết diện 2,01 cm², dài 2,4 m, điện trở suất thép cỡ 1,4·10⁻⁷ Ω·m → 0,0017 Ω, nhỏ hơn con số đo được 24 000 lần. Toàn bộ 40 ôm nằm ngoài kim loại. Nó là giá phải trả để dòng điện toả từ một cây cọc mảnh ra khối đất mênh mông — thứ mà Dwight viết thành công thức từ năm 1936:
R = (ρ / 2πL) · [ln(8L/d) − 1]ρ là điện trở suất đất, L chiều dài cọc, d đường kính. Đất vườn ẩm ở đồng bằng cỡ 100 Ω·m; cọc tiêu chuẩn d = 16 mm, L = 2,4 m cho đúng 40,4 Ω. Khác với điện trở tiếp xúc ở ổ cắm lỏng — thứ siết ốc là xong — điện trở này không có mối nào để siết.
Một nửa số ôm nằm trong vòng 17 centimét
Hình dung dòng rời cọc theo phương ngang, xuyên qua các lớp vỏ trụ đồng tâm. Lớp bán kính r dày dr có diện tích 2πrL, nên đóng góp dR = ρ·dr/(2πrL) — tỉ lệ với 1/r. Lớp sát cọc thì hẹp nhưng bóp nghẹt dòng; lớp ở xa rộng thênh thang, gần như miễn phí. Cộng từ mặt cọc ra (tích phân tới bán kính 4L/e = 3,53 m là ra đúng công thức trên): 50% số ôm nằm trong bán kính 16,8 cm, 76% trong 0,8 m, 97% trong 3 m. Toàn bộ phần đất còn lại của hành tinh đóng góp chưa tới 3%.
Đây chính là cái phễu thế 1/r đứng sau điện áp bước, chỉ đọc ngược chiều. Nó cũng giải thích hai kinh nghiệm trái ngược của thợ điện: đổ nước muối quanh gốc cọc hạ điện trở thấy rõ ngay, vì đó đúng là khối đất làm nên ba phần tư con số; còn cọc chèn đá dăm khô là cọc chết từ đầu — lớp quan trọng nhất đã thành vật liệu cách điện.
Vì sao gấp đôi chiều dài chỉ được 44%
L nằm dưới mẫu số, nhưng cũng nằm trong dấu ln. Nhân đôi L thì thừa số 1/L giảm nửa, còn ngoặc vuông tăng thêm ln 2 = 0,69, kéo lại một phần món hời. Cọc 4,8 m cho 22,5 Ω: bớt được 44,3%, không phải 50%.
Đường kính còn bạc bẽo hơn, vì nó chỉ vào công thức qua ln(1/d): đổi cọc 16 mm sang cọc 25 mm đắt hơn hẳn để đổi lấy 7,3% — từ 40,4 xuống 37,4 Ω. Và muốn một cây cọc đơn độc chạm mốc 4 Ω trong đất 100 Ω·m, bạn phải đóng nó sâu 34,9 m.
Lối thoát là chia ra. Hai cọc 2,4 m cách nhau 3 m cho 22,8 Ω, đúng bằng một cọc 4,8 m nhưng dễ thi công hơn nhiều. Chỉ có điều không phải 20,2 Ω như phép chia đôi hứa hẹn: hai cọc đặt gần nhau tranh nhau cùng một khối đất, hiệu suất còn 88%. Phép song song điện trở ở đây phải cộng thêm số hạng hỗ cảm ρ/2πs — với s = 3 m là 5,3 Ω — thứ mà mạch điện trên bàn không bao giờ có.
Trường hợp biên: 40 ôm và cái aptomat đứng nhìn
Dây pha chạm vỏ máy giặt. Vỏ đã nối đất tử tế qua 40,4 Ω, nên dòng sự cố về nguồn qua đất là 220/40,4 = 5,4 A — con số lạc quan, vì cọc tiếp địa của trạm biến áp (cỡ 4 Ω) nối tiếp vào, kéo xuống 5,0 A. Aptomat 20 A cần dòng gấp 3,7 lần thế mới chạm mức danh định, mà mức danh định lại đúng là mức nó chịu được vĩnh viễn. Nó sẽ đứng nhìn, mãi mãi.
Tệ hơn nữa: cái vỏ ấy không hề ở điện thế đất. Nó là điểm giữa của cầu phân áp 40,4 Ω trên 4 Ω, tức treo ở 200 V so với đất thật. Sờ vào là sờ gần đủ 220 vôn, và lần này thì vôn không còn vô hại: nguồn phía sau có cả trăm ampe để cấp.
Vậy nối đất để làm gì, nếu nó không làm aptomat nhảy? Để 5,4 A kia tồn tại — con số ấy gấp 180 lần ngưỡng 30 mA của CB chống giật, thứ thật sự cắt mạch trong 30 mili-giây. Cọc tiếp địa không phải cái cầu dao; nó là cái cớ để cầu dao chống giật biết mà nhảy. Và cái cớ ấy trôi theo mùa: tháng khô, ρ đất tăng 5–10 lần, cọc 40 Ω lặng lẽ hoá 303 Ω, vỏ máy leo lên 217 V, dòng sự cố tụt còn 0,72 A. Nhà nào chỉ có cọc mà không có CB chống giật thì đúng tháng ấy đã mất sạch lớp bảo vệ — không một bóng đèn nào nhấp nháy để báo tin.