Năm giờ chiều, bạn nhích từng mét và nghĩ đúng cái điều mọi người quanh bạn cũng đang nghĩ: giá mà dòng này chạy nhanh hơn. Nhưng con đường không thưởng cho tốc độ. Điểm ngọt của nó chậm hơn bạn tưởng nhiều:
Lưu lượng là tích của hai con số cãi nhau
Thứ một con đường thực sự bán không phải tốc độ mà là lưu lượng: bao nhiêu xe qua một vạch trong một giờ. Nó bằng mật độ nhân tốc độ, q = k·v — cùng dạng phương trình liên tục của một dòng chất lưu. Rắc rối là hai thừa số ấy không độc lập: đường càng dày xe, người ta càng phải đi chậm. Greenshields (1935) lấy giả thiết thô nhất có thể — tốc độ tụt tuyến tính từ v_tự_do trên đường vắng về đúng 0 khi kẹt cứng:
v = v_tự_do · (1 − k / k_kẹt)
q = k · v = v_tự_do · k · (1 − k / k_kẹt)
q_max = v_tự_do · k_kẹt / 4 tại k = k_kẹt / 2 và v = v_tự_do / 2Một số tăng nhân một số giảm tuyến tính thì ra parabol, mà parabol có đỉnh đúng giữa hai nghiệm. Với dòng xe máy đô thị — v_tự_do 40 km/h, kẹt cứng ở 400 xe/km/làn (mỗi xe 2,5 m: thân 1,9 m cộng 0,6 m khe hở) — đỉnh là 4 000 xe/giờ, đạt được khi tất cả cùng đi 20 km/h, cách nhau 5 m. Một chiếc lướt qua vạch mỗi 0,9 giây, liên tục suốt tiếng đồng hồ.
Vì sao một làn xe máy chở gần gấp đôi làn ô tô
Cùng công thức, thay bộ tham số ô tô đô thị: v_tự_do 60 km/h, kẹt cứng 140 xe/km (mỗi xe 7,1 m). Đỉnh rơi vào 60 × 140 / 4 = 2 100 xe/giờ ở 30 km/h. Ô tô nhanh gấp rưỡi tại đỉnh của nó mà làn đường vẫn chở ít hơn 1,9 lần, chỉ vì k_kẹt của nó nhỏ hơn gần ba lần. Mặt đường không đếm mã lực; nó đếm số mét mỗi phương tiện chiếm lấy. Giờ cao điểm thì gần như không ai chạm tới v_tự_do: thứ quyết định là bạn dám bám xe trước sát đến đâu, mà khoảng cách ấy do độ trễ của hệ thần kinh đặt sàn, không phải động cơ, càng không phải sức cản không khí.
Cùng 3 000 xe mỗi giờ, hai cuộc đời rất khác nhau
Parabol có một tính chất tàn nhẫn: mọi lưu lượng dưới đỉnh đều ứng với hai trạng thái. Ở 100 xe/km, dòng chạy 30 km/h và chở 3 000 xe/giờ. Ở 300 xe/km, dòng bò 10 km/h và cũng chở đúng 3 000 xe/giờ — nhưng bạn đi 1 km mất 6 phút thay vì 2 phút.
Đỉnh thì rất phẳng, đó là tin tốt: lệch mật độ tới 25% — 150 hay 250 thay vì 200 xe/km — chỉ mất 6,25% lưu lượng (3 750 thay vì 4 000). Tin xấu là nhánh phải trừng phạt đối xứng và không thương lượng: thêm 100 xe/km ở nhánh trái được thêm 1 000 xe/giờ, thêm đúng 100 xe/km ấy ở nhánh phải mất 1 000 xe/giờ. Nhồi từ 200 lên 400 xe/km, con đường rơi từ 4 000 về 0. Vì thế việc của kỹ sư giao thông không phải “cho xe chạy” mà là không cho quá nhiều xe vào cùng lúc: đèn ở đầu đường dẫn lên cao tốc thả từng xe cách nhau vài giây, cố tình bắt một hàng chờ bên ngoài để phần đường bên trong ở lại nhánh trái.
Trường hợp biên: cú phanh bò ngược dòng 15 km/h
Khi dòng nhảy từ trạng thái này sang trạng thái kia — một người phanh gấp — ranh giới giữa hai vùng không đứng yên: nó chạy với vận tốc bằng độ dốc dây cung nối hai điểm ấy trên parabol. Từ dòng đang chạy 25 km/h (150 xe/km, 3 750 xe/giờ) sang cụm dừng hẳn (400 xe/km, 0 xe/giờ), dây cung ấy bằng −15 km/h: dấu âm nghĩa là nút thắt bò ngược chiều xe chạy, đúng dải 15–20 km/h đo được trên đường thật. Đó là tốc độ so với mặt đường: một điểm cách chỗ phanh 1 km về phía sau phải 4 phút nữa mới đông cứng lại. Người đang chạy tới thì gặp sóng sớm hơn nhiều, vì họ lao thẳng vào nó — tốc độ tiếp cận 25 + 15 = 40 km/h, tức 1,5 phút. Lúc họ bóp phanh, thủ phạm đã đi khuất từ lâu — cái tắc “không có lý do” bạn gặp mỗi chiều, chỉ còn con sóng ở lại.
Chỗ mô hình gãy nằm ngay đó: Greenshields giả định mọi xe như nhau, phản ứng tức thì, xếp thành làn — dòng xe máy Việt Nam không làm điều nào trong ba điều ấy. Xe len ngang, lấp mọi khe, nên k_kẹt thật trên một mặt cắt còn cao hơn 400 và đỉnh thật cũng cao hơn 4 000. Nhưng cái được ấy không mua được sự miễn trừ: hình dạng parabol không đổi, chỉ có đỉnh dịch đi. Con đường vẫn nhận thêm xe rất lâu sau khi nó đã thôi chở thêm được người.