Cái tủ lạnh không chịu nhúc nhích. Bạn đổi tư thế: thay vì chồm người đẩy tới, bạn vòng ra phía trước, nắm mép tủ kéo chếch lên — và nó trượt. Vẫn bạn, vẫn cái tủ ấy, vẫn sức ấy; chỉ hướng của lực xoay đi vài chục độ:
Sợi dây chếch lên đã gánh hộ sàn nhà một phần cái tủ
Ma sát trượt mặc kệ bạn đẩy mạnh cỡ nào theo phương ngang — nó chỉ đếm lực
ép vuông góc xuống sàn: F_ms = μN. Kéo chếch lên góc θ, thành phần thẳng
đứng F·sinθ nhấc bớt vật khỏi sàn, N tụt xuống và ma sát tụt theo.
Giải hai phương trình cân bằng cùng lúc ra một dòng:
F_kéo = μW / (cosθ + μ·sinθ)Cái tủ 100 kg (W = 981 N) trên nền gạch μ = 0,50: kéo ngang cần 491 N; kéo chếch 26,6° chỉ còn 439 N, vì phản lực pháp tuyến đã tụt từ 981 N xuống 785 N — sợi dây đang đỡ hộ sàn 196 N, tức 20% cái tủ.
Vì sao lại là arctan μ chứ không phải 45°
Muốn lực nhỏ nhất thì mẫu số phải lớn nhất, mà cosθ + μ·sinθ viết gọn
được thành √(1+μ²)·cos(θ − arctan μ). Cực đại khi ngoặc trong cos bằng 0:
θ* = arctan(μ) → F_min = μW / √(1+μ²)Trong đó không có W: góc tối ưu không phụ thuộc vật nặng bao nhiêu, chỉ
phụ thuộc cặp vật liệu chạm nhau. Con số ấy quen mặt: arctan μ cũng đúng
là góc mà mặt phẳng nghiêng bắt đầu cho vật
trượt. Nghiêng dần tấm
ván tới lúc vật buông tay rồi đọc góc: bạn vừa đo xong góc mình nên kéo.
Phần thưởng thì khiêm tốn. Ở μ = 0,50, kéo đúng góc chỉ nhẹ hơn kéo ngang
10,6%; ở μ = 0,20 chỉ còn 1,9%. Bù lại, cực tiểu rất phẳng: tỉ số
F(θ)/F_min = 1/cos(θ − θ*), nên lệch 10° chỉ đắt thêm 1,5%, lệch 20°
mới đắt 6,4%. Đừng mang thước đo góc ra chỗ cái tủ — “chếch lên chừng một
phần ba góc vuông” là đã ăn gần trọn phần lời.
Đổi một dấu trừ, con số nhảy 67%
Đẩy chúc xuống cùng góc θ thì F·sinθ đổi phe: N = W + F·sinθ, và cả bài
toán chỉ đổi một dấu.
F_đẩy = μW / (cosθ − μ·sinθ)Vẫn cái tủ ấy, vẫn 26,6°: 732 N thay cho 439 N — nặng hơn 67%, chênh 293 N, đúng bằng nhấc bổng một bao xi măng 30 kg. Sàn giờ chịu 1 309 N thay vì 785 N.
Tỉ số hai lực có dạng gọn (1 − μ²)/(1 + μ²): sàn càng nhám thì khoảng
cách càng ác — với μ = 0,80, đẩy ở góc tối ưu cần 2,85·W, tức ép mạnh
gần gấp ba trọng lượng chính cái vật mình định dời.
Và đây là năng lượng thật: đòn bẩy đổi lực lấy quãng đường nên không cho không ai cái gì, còn ở đây bạn thật sự tiêu ít hơn — mỗi mét đường, kéo tối ưu tốn 392 J, kéo ngang 491 J, đẩy chúc xuống 654 J. Khoản chênh ấy là nhiệt nung mặt sàn và mặt đáy tủ.
Có bánh xe thì cả bài toán này tan biến
Toàn bộ trò chơi trên sống nhờ μ lớn. Lắp bánh xe vào, hệ số cản lăn rơi xuống cỡ 0,02: góc tối ưu co lại còn 1,1° — thực tế là kéo ngang — và phần tiết kiệm so với kéo ngang là 0,02%, tức không có gì. Bạn kéo vali chếch 45° không phải để giảm ma sát, mà vì tay bạn ở độ cao đó; đổi lại, phần trọng lượng vali chuyển sang cánh tay bạn là có thật. Mẹo góc chỉ đáng nhớ khi mặt sàn còn ghì: thùng hàng trên nền xi măng, bao gạo lết trên sân.
Trường hợp biên: qua 63,4° thì không cú đẩy nào còn nghĩa lý
Mẫu số cosθ − μ·sinθ tiến về 0 khi tanθ → 1/μ. Với μ = 0,50 đó là
63,4°: lực đẩy cần thiết vọt lên vô hạn. Quá góc ấy mẫu số đổi dấu và
nghiệm thành âm — cách vật lý nói rằng câu hỏi đã sai: mỗi newton bạn thêm
vào chỉ ép vật chặt xuống sàn thêm, phần ma sát mọc ra luôn lớn hơn phần
đẩy tới vừa cấp, nên vật tự khoá. Cơ chế ấy không phải lỗi mà là tính
năng: ren ốc tự hãm được đúng vì góc nâng của đường ren nhỏ hơn arctan μ
— nếu không, mọi con bulông trên đời đã tự tháo dưới rung động.
Đầu kia của dải góc có một bức tường khác. Buộc dây ở độ cao a trên vật
rộng b rồi kéo ngang: vật lật quanh cạnh trước thay vì trượt khi
a > b/(2μ) — với μ = 0,50 nghĩa là cao hơn đúng chiều sâu cái tủ. Quàng
dây ở 1,6 m để kéo cái tủ sâu 60 cm, và bài toán lặng lẽ đổi từ phương trình
lực sang phương trình
mô-men: cái tủ không trượt
đi đâu cả — nó đổ về phía bạn.