Trên Sao Thuỷ, từ lúc Mặt Trời mọc tới lần mọc kế tiếp mất 175,94 ngày Trái Đất. Một năm ở đó chỉ 87,97 ngày. Hành tinh trong cùng kịp đón hai lần sinh nhật trong một ngày — và không có lỗi đánh máy nào ở đây, chỉ có một phép trừ:
Bốn phút mà cuốn lịch giấu bạn
Chọn một ngôi sao, ghi giờ nó đi qua đúng đỉnh đầu, rồi ghi lại đêm hôm sau: khoảng cách là 23 giờ 56 phút 4,1 giây, không phải 24 giờ. Đó là ngày sao — thời gian Trái Đất quay trọn một vòng thật trong không gian. Ngày 24 giờ của bạn dài hơn thế 3 phút 55,9 giây, vì trong lúc quay, Trái Đất còn trôi được 0,986° trên quỹ đạo: phải quay bù chừng ấy nữa Mặt Trời mới trở lại đúng kinh tuyến cũ.
Khoản bù ấy cộng dồn nhanh: ngôi sao bạn nhắm mọc sớm hơn gần 2 giờ mỗi tháng, 12 giờ sau nửa năm. Đó là toàn bộ lý do bầu trời tháng Chạp không giống bầu trời tháng Sáu. Tính cả năm: Trái Đất quay đủ 366,2422 vòng nhưng lịch chỉ đếm được 365,2422 ngày. Vòng thừa ra chính là vòng quỹ đạo.
Trừ hai nghịch đảo là ra
1/T_MặtTrời = | 1/T_tựquay − 1/T_quỹđạo |Vế trái là tốc độ Mặt Trời trôi trên bầu trời, và nó là hiệu của hai tốc độ góc: tốc độ hành tinh tự quay, trừ tốc độ nó đi quanh sao.
Sao Thuỷ tự quay hết 58,646 ngày và đi hết quỹ đạo trong 87,969 ngày — đúng con số định luật Kepler III trả về từ bán trục lớn 57,9 triệu km. Trừ hai nghịch đảo: 175,94 ngày, bằng chằn chặn 2,000 vòng quỹ đạo và 3,000 vòng tự quay. Sự tròn trịa ấy không phải trùng hợp — thuỷ triều của Mặt Trời đã kéo Sao Thuỷ vào cộng hưởng 3:2, ba vòng tự quay gói gọn trong đúng hai năm.
Hệ quả cảm được bằng da thịt: ban ngày ở đó kéo dài 87,97 ngày Trái Đất — trọn một năm nắng, rồi trọn một năm đêm. Không có khí quyển san nhiệt sang nửa tối, mặt đất chạy từ 427 °C xuống −173 °C: biên độ 600 độ trong một ngày.
Sao Kim quay ngược, nên dấu trừ hoá dấu cộng
Sao Kim tự quay ngược chiều mọi hành tinh còn lại, chu kỳ 243,025 ngày — tức mang dấu âm trong công thức. Hai nghịch đảo thôi trừ nhau mà cộng vào nhau, và ngày Mặt Trời rút xuống 116,75 ngày: ngắn hơn hẳn một vòng tự quay 243 ngày, gọn trong một năm 224,7 ngày tới 1,92 lần. Mặt Trời ở đó mọc đằng tây — nếu xuyên nổi lớp mây axit sunfuric dày mấy chục kilômét để mà thấy. Kéo thanh trượt tự quay qua bên âm và nhìn thanh xanh trong demo: chỉ một dấu đổi, nó ngắn lại thay vì dài ra.
Trên Sao Thuỷ, Mặt Trời có lúc đi giật lùi
Công thức trên giả định hành tinh đi đều trên quỹ đạo tròn. Sao Thuỷ thì không: độ lệch tâm 0,2056 kéo nó từ 69,8 triệu km ở viễn nhật xuống 46,0 triệu km ở cận nhật, và Kepler II bắt nó phóng nhanh hẳn lên tại đó. Nhanh tới mức tốc độ góc quỹ đạo vượt tốc độ tự quay 3,4% — hiệu số đổi dấu, và Mặt Trời đứng khựng rồi bò giật lùi trên bầu trời suốt 8,1 ngày Trái Đất, lùi chừng 1,1° trước khi quay đầu đi tiếp.
Nghe nhỏ, cho tới khi biết đĩa Mặt Trời nhìn từ Sao Thuỷ lúc cận nhật rộng 1,73°, gấp 3,3 lần đĩa ta thấy từ Trái Đất: nó lùi gần hai phần ba đường kính của chính mình. Vậy nên 175,94 ngày là con số trung bình — demo trả đúng giá trị ấy, nhưng làm phẳng cú giật lùi giữa trưa.
Trường hợp biên: khi mẫu số về 0
Kéo hai thanh trượt về cùng một giá trị — 100,000 và 100,000 chẳng hạn. Hiệu hai nghịch đảo về 0, ngày Mặt Trời dài vô hạn: đó là khoá triều, một nửa hành tinh nắng vĩnh viễn, nửa kia đêm vĩnh viễn. Đây không phải trạng thái hiếm mà là đích đến: ma sát triều luôn hãm vòng tự quay lại cho tới khi bằng vòng quỹ đạo — ngày Trái Đất cũng đang dài thêm 1,8 mili-giây mỗi thế kỷ vì đúng cái phanh ấy. Sao Thuỷ dừng nửa đường ở 3:2 chỉ vì quỹ đạo quá lệch tâm, đủ để cộng hưởng ấy cũng bền.
Nhưng “khoá triều” luôn phải hỏi lại: khoá vào ai? Mặt Trăng khoá vào Trái Đất, không phải vào Mặt Trời. Nên với nó, phép trừ vẫn chạy, chỉ là đổi bạn nhảy: 1/27,32 − 1/365,24, lật ngược lại là 29,53 ngày — đúng một tuần trăng. Mặt Trăng vì thế không hề có nửa mặt nắng vĩnh viễn; nó có 14,8 ngày nắng rồi 14,8 ngày đêm ở −170 °C. Đó là lý do tuổi thọ một trạm đổ bộ Mặt Trăng được ghi bằng tuần chứ không bằng giờ: hết ngày là hết pin mặt trời, và cái lạnh đêm giết thiết bị trước khi Mặt Trời kịp mọc lại.