Kepler III trả lời “một vòng hết bao lâu”. Nhưng trên quỹ đạo dẹt như của sao chổi Halley, câu hỏi nóng hơn là “đang ở đây thì chạy nhanh cỡ nào” — và cho việc đó, cơ học thiên thể có một công thức đọc-là-ra:
Sổ tiết kiệm năng lượng: đọc vận tốc từ khoảng cách
v² = GM(2/r − 1/a)Gốc gác của nó là bảo toàn năng lượng: cơ năng của vật trên quỹ đạo chỉ phụ thuộc bán trục lớn a — không phụ thuộc độ dẹt, không phụ thuộc đang ở đâu. Tổng tiền trong sổ là cố định; r cho biết bao nhiêu đang nằm ở ngăn “thế năng”, phần còn lại bắt buộc là động năng. Sát Mặt Trời, ngăn thế năng cạn — động năng đầy ự: Halley qua cận nhật ở 54,6 km/s. Ra tới viễn nhật 35 AU, gần hết tiền chuyển sang ngăn thế năng: còn 0,91 km/s — chậm hơn máy bay tiêm kích. Tỉ số 60 lần, đúng nghịch đảo tỉ số khoảng cách (bảo toàn mô-men động lượng: v·r không đổi ở hai đầu trục — người quen cũ của cú xoay vũ công).
Vì thế sao chổi có lịch làm việc kỳ quặc: 76 năm một vòng nhưng chỉ vài tháng “đi làm” — toàn bộ màn trình diễn đuôi lửa gói trong đoạn quanh cận nhật nơi nó bay nhanh và bị nung nóng; 70 năm còn lại nó bò trong bóng tối ngoài Sao Hải Vương, gần như đứng yên. Kepler II nói điều này bằng ngôn ngữ hình học — bán kính quét diện tích đều — còn vis-viva nói bằng tiền mặt.
Trái Đất cũng chơi trò này, chỉ nhẹ nhàng hơn: quỹ đạo gần tròn (e = 0,017) làm ta chạy 30,29 km/s hồi tháng Một (cận nhật) và 29,28 km/s hồi tháng Bảy. Hệ quả ít ai để ý: mùa hè Bắc bán cầu — đoạn Trái Đất bò chậm — dài hơn mùa đông gần 5 ngày. Lịch của bạn ghi dấu vân tay của Kepler.
Công thức của mọi chuyến bay liên hành tinh
Vis-viva không chỉ tả — nó thiết kế. Muốn đưa tàu từ quỹ đạo Trái Đất tới Sao Hoả kiểu tiết kiệm (chuyển Hohmann): chọn elip mới có a lớn hơn, công thức cho ngay v cần có tại điểm xuất phát — trừ đi v hiện tại là ra Δv, con số quyết định cần bao nhiêu nhiên liệu, tức cả chuyến bay khả thi hay không. Mọi phòng điều khiển bay từ Apollo tới nay đều xoay quanh những phép trừ Δv như thế.
Món ngoạn mục nhất: lực hấp dẫn hỗ trợ (gravity assist). Voyager 2 bay sát Sao Mộc: đối với Sao Mộc, nó đến rồi đi cùng tốc độ — vis-viva công bằng tuyệt đối. Nhưng Sao Mộc đang lao 13 km/s quanh Mặt Trời, và cú “ném đá qua vai” cộng một phần vận tốc ấy vào tàu trong hệ quy chiếu Mặt Trời: tàu nhận thêm ~10 km/s, không tốn một giọt nhiên liệu — trả giá bằng việc Sao Mộc chậm đi một lượng nhỏ đến mức vô nghĩa (chia cho 1,9×10²⁷ kg). Bốn cú ném như vậy đưa Voyager 2 đủ tiền vượt mọi mức 1/a — thoát hẳn sổ tiết kiệm của Mặt Trời.
Trường hợp biên: dấu của 1/a là tấm hộ chiếu
Nhìn kỹ công thức lần cuối: a đứng dưới mẫu có dấu. Quỹ đạo kín (elip): a > 0, cơ năng âm — “còn nợ ngân hàng”, đi đâu rồi cũng phải về. Đẩy a → ∞: v² = 2GM/r — chính xác tốc độ vũ trụ cấp hai, quỹ đạo parabol, tài khoản vừa chạm số 0. Nhanh hơn nữa: a âm, quỹ đạo hyperbol, cơ năng dương — khách vãng lai không hẹn quay lại. Năm 2017, đài quan sát Hawaii bắt được ‘Oumuamua với a = −1,3 AU: lần đầu tiên nhân loại đo được một vật thể mang hộ chiếu âm — sinh ở hệ sao khác, ghé Mặt Trời một lần, và vis-viva đọc bản án ấy chỉ từ một cặp số (r, v) duy nhất.