Người Babylon không biết Mặt Trăng là quả cầu đá, chưa hề nghe tới quỹ đạo elip, vậy mà báo trước được nhật thực. Họ chỉ đếm, và bắt được một con số: cứ 6 585 ngày, trời lại tối theo đúng kiểu cũ. Chỗ hay nằm ở phần lẻ của con số ấy:
Ba cái “tháng” và không cái nào bằng cái nào
Nhật thực đòi hai điều kiện cùng lúc. Một: Mặt Trăng ở pha sóc — tháng giao hội, 29,530588 ngày. Hai: đúng lúc ấy nó phải đi qua nút, một trong hai điểm quỹ đạo Mặt Trăng cắt mặt phẳng hoàng đạo — tháng giao điểm, 27,212221 ngày. Hai đồng hồ lệch nhau 2,32 ngày mỗi vòng, nên hầu hết các kỳ trăng mới, bóng Mặt Trăng quét trượt trên hoặc dưới Trái Đất.
Muốn cảnh cũ lặp lại, phải tìm số nguyên N để N tháng giao hội trùng gần đúng M tháng giao điểm — bài toán nhịp phách của hai chu kỳ lệch nhau. Kéo thanh trượt N: trong dải 1–300 có một đáy sâu hơn hẳn.
N = 223: 223 × 29,530588 = 6 585,3211 ngày, còn 242 × 27,212221 = 6 585,3575 ngày. Lệch 52 phút sau mười tám năm. Á quân N = 270 lệch 1 giờ 52 phút; chu kỳ Meton 19 năm (N = 235) lệch tới 13 giờ 43 phút — quá thô để đoán trước một lần thực.
52 phút quy ra 0,48° trên bầu trời
52 phút chỉ có nghĩa khi đổi sang góc: Mặt Trăng chạy 360° chia 27,212221 = 13,23° mỗi ngày so với đường nút, nên 0,0364 ngày lệch tương đương 0,48°. Nhật thực vẫn còn xảy ra chừng nào pha sóc rơi trong khoảng ±18,5° quanh nút — dải vàng trong demo, ứng với lệch dưới 1,4 ngày. Nửa độ so với ba mươi bảy độ: lần thực kế tiếp gần như bản sao của lần trước, và được xếp chung một “chuỗi Saros” có số hiệu riêng.
Phần lẻ 0,3211 ngày đẩy vệt bóng đi 116°
Chỗ khó chịu là 6 585,3211 chứ không phải 6 585,0000. Sau 6 585 ngày tròn — 18 năm 11 ngày nếu khoảng ấy chứa bốn năm nhuận, 10 ngày nếu chứa năm — Trái Đất về đúng tư thế cũ trước Mặt Trời; 0,3211 ngày dư bắt nó quay thêm 7 giờ 42 phút nữa, tức 115,6°. Hình học trên trời lặp lại y hệt; chỉ có mặt đất đã xoay đi dưới nó.
Chuỗi Saros 145 là minh chứng: nhật thực 11/8/1999 quét Romania quanh 24° kinh Đông; cộng 6 585 ngày ra đúng 21/8/2017 — lần thực vắt ngang nước Mỹ ở khoảng 88° kinh Tây, trượt 112°. Cộng một Saros nữa: 2/9/2035, Nhật Bản. Ba lục địa, một hình học.
Cộng ba lần thì phần lẻ thành 0,9634 vòng — chỉ thiếu 13,2° là khép kín. Đó là exeligmos: 19 756 ngày = 54 năm 33 ngày, chu kỳ đưa nhật thực về gần đúng chỗ cũ trên mặt đất — máy Antikythera có hẳn một vòng chia độ cho nó.
Cùng một chuỗi, nhưng dáng đổi dần
Gạt thanh trượt thứ hai sang tháng cận điểm — 27,554550 ngày, thời gian Mặt Trăng trở lại điểm gần Trái Đất nhất. 239 tháng ấy dài 6 585,537 ngày: lệch 5 giờ 12 phút, thô hơn gấp sáu lần. Đủ để Mặt Trăng về xấp xỉ khoảng cách cũ, không đủ để nó đứng yên: mỗi vòng Saros, dị thường trôi 2,83° và khoảng cách đổi tới 1 041 km. Với biên độ mỏng manh 2,9% giữa đĩa Mặt Trời và đĩa Mặt Trăng, chừng ấy kilômét chính là ranh giới giữa toàn phần và vành khuyên — nên một chuỗi mở đầu bằng thực vành khuyên có thể kết thúc bằng thực toàn phần.
Trường hợp biên: chuỗi Saros chết ở đâu
52 phút mỗi vòng không tự triệt tiêu: 0,48° mỗi lần, luôn về cùng một phía. Cửa sổ ăn thực rộng 2 × 18,5 = 37°, chia cho 0,48 ra 77 lần lặp, khoảng 1 390 năm — rồi nút trôi hết chỗ và cả chuỗi tắt. Danh mục thiên văn ghi 69–87 lần cho một chuỗi thật. Saros 145 mở màn năm 1639 bằng vệt thực một phần bé xíu gần Bắc Cực, lần huy hoàng ở Mỹ năm 2017 mới là lần thứ 22, và năm 3009 nó tắt gần Nam Cực.
Mà cửa sổ 18,5° ấy cũng không vĩnh viễn: Mặt Trăng đang lùi xa 3,83 cm mỗi năm, đĩa của nó teo dần, và chừng 600 triệu năm nữa nó không còn phủ nổi Mặt Trời. Chu kỳ 6 585 ngày vẫn chạy chính xác từng phút — chỉ là không còn gì để lặp lại.