Thang dựa tường: leo tới bậc nào thì chân thang bắt đầu trượt?

Cây thang không bao giờ trượt lúc bạn còn đứng thấp. Bậc dưới cùng chắc như đóng đinh, nửa thang vẫn yên — tới một bậc nào đó gần đỉnh, chân thang mới khẽ nhích ra. Suốt quãng ấy cây thang chẳng yếu đi chút nào; thứ duy nhất đổi là chỗ bạn đứng:

Góc dựng θ (°)

Hệ số ma sát sàn μ

Khối lượng người (kg)

Ba lực và một bất đẳng thức

Tường sơn nhẵn không ghì được gì theo phương đứng: nó chỉ đẩy ngang đầu thang ra. Sàn ôm hai việc còn lại — đỡ trọng lượng, và giữ chân thang bằng ma sát. Lấy mô-men quanh chân thang: hai trọng lượng có cánh tay đòn nằm ngang, phản lực tường có cánh tay đòn thẳng đứng.

N_tường = (P_thang/2 + P_người · f) / tanθ

f là chỗ bạn đứng, đo từ chân thang theo tỉ lệ chiều dài: 0 ở bậc dưới, 1 ở đỉnh. Bên kia bàn cân, sàn ghì lại được nhiều nhất μ·(P_thang + P_người), hết. Cho hai vế gặp nhau là ra bậc cuối cùng còn an toàn:

f_max = (μ · tanθ · (P_thang + P_người) − P_thang/2) / P_người

Chỗ nguy hiểm luôn nằm ở gần đỉnh

Vế đòi hỏi lớn dần đều theo f; vế cung cấp thì đứng im — leo cao không làm sàn bám tốt hơn chút nào. Thang 6 m nặng 10 kg, bạn 65 kg, dựng 60°: đứng ở bậc thấp nhất, sàn chỉ cần μ = 0,038, trơn gần như mặt băng vẫn đủ giữ. Bò tới đỉnh, đòi hỏi vọt lên 0,539: gấp đúng 14 lần, mà 14 ấy chỉ là (5 + 65)/5, chẳng dính gì tới góc dựng.

Lấy μ = 0,40 — con số quen thuộc cho chân thang trên sàn cứng, khô và sạch — thì bạn dừng ở 72% chiều dài — 4,33 m trên thang 6 m, chỗ đứng ấy cao 3,75 m so với sàn (đầu thang thì ở 5,20 m). Đúng lúc ấy thang đẩy tường 294 N theo phương ngang, sàn đỡ 736 N theo phương đứng — và 40% của 736 vừa đúng bằng 294: đẳng thức ấy là định nghĩa của sắp trượt.

Năm độ đổi cả bài toán

Thủ phạm là tanθ, hàm dốc nhất trong nhà: tan 60° = 1,73, tan 65° = 2,14, tan 75° = 3,73. Nhích thang thêm 5° thôi mà giới hạn nhảy từ 72,2% lên 91,3% — thêm 1,14 m thang leo được, đổi lại chỉ là kéo chân thang vào gần tường 46 cm. Từ 66,8° trở lên, vẫn μ = 0,40 ấy, bạn leo tới tận đỉnh mà chưa chạm ngưỡng.

Đó là gốc của câu thần chú 1:4 ngoài công trường — chân thang cách tường một khoảng bằng một phần tư chiều dài thang, tức cosθ = 0,25 hay 75,5°, chính là con số “75 độ” in trên mọi tờ hướng dẫn. Ở góc đó, bậc trên cùng chỉ đòi μ ≥ 0,241.

Nặng thêm 50 kg gần như vô can, bụi xi măng thì không

Cùng 60° và μ = 0,40: người 40 kg leo được 74,1%, người 90 kg được 71,4% — chênh vỏn vẹn 2,7 điểm phần trăm cho 50 kg. Cân nặng của bạn đứng ở cả hai vế: nó vừa bẩy đầu thang ra, vừa ép chân thang xuống cho ma sát mạnh thêm, nên phần lớn tự triệt tiêu — họ hàng của cuộc đua vật lăn, nơi khối lượng bị loại thẳng khỏi đáp số.

Rắc bụi xi măng lên gạch men và μ tụt về quanh 0,25: cũng góc 60° đó, giới hạn rơi xuống 42,3% — 2,54 m. Tệ hơn: ngưỡng trượt của thang không người là tanθ = 1/(2μ), với μ = 0,25 thì bằng 63,4° — cây thang rỗng dựng 60° đã tự tuột trước khi ai kịp leo. Nó đứng yên được chỉ vì có bạn: người ở bậc thấp bơm thêm trọng lượng vào ma sát mà gần như không thêm mô-men lật. Đó là vật lý của thói quen công trường cắt một người chặn bậc dưới cùng — anh ta không giữ thang bằng tay, anh ta giữ bằng cân nặng.

Trường hợp biên: bọc cao su đầu thang thì hết giải được

Cho đầu thang tì vào tường nhám: an toàn hơn thật, nhưng bài toán vừa hỏng. Giờ có bốn ẩn — hai phản lực pháp tuyến, hai lực ma sát — mà tĩnh học chỉ phát ra ba phương trình cân bằng. Hệ siêu tĩnh: vô số bộ nghiệm thoả cả ba, muốn chọn bộ đúng phải giả thiết thêm về độ cứng của thang và của tường.

Chiều ngược lại triệt để hơn: kê chân thang vào một gờ chặn — bậc thềm, thanh gỗ đóng đinh xuống sàn — và μ biến mất khỏi đáp số. Lực đẩy ngang do gờ chịu, không phải ma sát: không còn bất đẳng thức nào để vi phạm, mọi góc mọi bậc đều đứng cho tới khi thang gãy vì lý do khác hẳn. Một mẩu gỗ 5 cm ở chân thang xoá sạch mọi con số phía trên — kể cả con số 72% mà bạn vừa kéo slider tìm ra.