Vặn vòi nhà bạn thật yếu rồi nhìn kỹ dòng nước: ngay dưới miệng vòi trong suốt như thủy tinh, nhưng rơi xuống 20, 30 centimet là đã mảnh như sợi dậu. Không ai bóp cổ tia — chính lực hấp dẫn vừa tăng tốc nước, vừa buộc tiết diện co lại:
Phương trình liên tục: lưu lượng không đổi, đường kính phải thay
Nước rời vòi chảy xuống không mất hành. Lưu lượng ở miệng vòi phải bằng lưu
lượng ở bất kỳ độ sâu nào, hay Q = A·v = hằng số — đây chính là bảo toàn
khối lượng, vì nước không mất hoặc có thêm ở đâu. Tiết diện A với vận tốc v
tại mỗi độ cao, nên nếu vận tốc tăng gấp bốn thì tiết diện phải giảm còn
một phần tư: A = A₀·(v₀/v).
Vì tiết diện tròn tỉ lệ với bình phương đường kính (A ∝ d²), nên:
d = d₀ · (v₀/v)^(1/2)Con số một phần hai ở đây là “căn bậc hai”, vì diện tích phải giảm gấp bốn còn đường kính chỉ giảm gấp hai. Nói cách khác, nếu bạn vặn vòi sao cho nước chảy nhanh gấp đôi, tia nước sẽ mảnh đi khoảng 29% (vì √(1/2) ≈ 0,707). Ở tầng một của nhà, nước chảy yếu hơn tầng ba — dòng nước sẽ để lại cổ thon ít hơn.
Torricelli: từ từ rơi nước tăng tốc theo căn bậc hai
Nước rơi tự do dưới trọng lực g. Sau khi rơi quãng đường z từ vòi, vận tốc
tăng thành v = √(v₀² + 2g·z) — công thức Torricelli, mà bạn cũng gặp khi
tính độ cao lũ mở bể nước hay tốc độ bắn súng nước. Chú ý ở đây: vận tốc bình
phương tỉ lệ với độ cao (v² ∝ z), không phải vận tốc tuyến tính. Với v₀ = 0,5
m/s rơi 20 cm thôi (z = 0,2 m), nước đã tăng tốc từ 0,5 lên 2,04 m/s —
gấp bốn lần. Điều này có nghĩa vận tốc bình phương tăng gấp 16 lần, trong
khi toàn bộ quãng rơi chỉ một mẫu ba metre — tức là lực hấp dẫn rất hiệu quả
ngay cả với quãng đường nhỏ.
Hai định luật lồng vào nhau: mũ một phần tư
Kết hợp continuity và Torricelli:
d(z) = d₀ · [v₀² / (v₀² + 2g·z)]^(1/4)Con số 1/4 không phải xẻ ngẫu nhiên: nó xuất hiện từ phép chia. Continuity nói d ∝ (v₀/v)^(1/2), Torricelli nói v ∝ √(v₀² + 2gz), khi kết hợp vào nhau thì một bình phương chia một bình phương lại được bốn lần, và căn bậc hai của căn bậc hai là căn bậc bốn. Toán học đã nói: hai lũy thừa phân số nhân vào nhau thì mũ cộng (1/2 + 1/2 = 1), nhưng ở đây ta chia (1/2 ÷ 1/2 = 1), lại còn một căn bậc hai ngoài cùng nữa, nên ra 1/4.
Với v₀ = 0,5 m/s rơi đúng 20 cm, đường kính còn lại là 49,5% — gần như một nửa chính xác. Rơi đến 38 cm (z = 0,38 m), đường kính còn 42,5%; rơi 1 mét thì còn 33,5% — tia nước thon rất nhanh lúc đầu, rồi tốc độ mảnh dần chậm lại vì v₀² + 2gz luôn lớn hơn trong mẫu số.
Tại sao con số 1/4 lại quan trọng
Nó quyết định tốc độ mảnh. Nếu tia nước giảm tuyến tính (d ∝ z), nó sẽ gần như không đổi nhờ lực hấp dẫn yếu. Nhưng lũy thừa 1/4 chạy đủ mạnh để tia nước trở nên rất mảnh sau quãng đặc biệt nào đó. Sức căng bề mặt nước không phải là đối thủ của lực hấp dẫn, nhưng nó quyết định thứ xảy ra tiếp theo: không tia mảnh nào tồn tại vô hạn.
Trường hợp biên: sợi nước thắt lại rồi đứt thành giọt
Công thức cho d → 0 khi z tiến tới vô cùng, nhưng nước không chảy thành sợi mảnh dần mãi. Sau một quãng đặc biệt (tùy vào v₀ và d₀), sợi nước bắt đầu gợn sóng và bất ổn định — đó là bất ổn định Plateau–Rayleigh, nơi sức căng bề mặt chọn một bước sóng đặc biệt để khiến tiết diện mỏng dần theo hàm mũ, rồi từng chỗ thắt lại thành chuỗi giọt. Không tia nước nào lách được định luật ấy: quá mạnh và gợn nhanh chóng nổi bật; quá yếu thì tầng sóng khác phát triển. Bất ổn định thắng cuộc dù chiều cao rơi bao nhiêu — bạn chỉ nhìn thấy sự khác nhau ở độ dài đoạn “trong suốt” trước khi tia vỡ thành những giọt rời lẻ tẻ.