Bồn inox trên mái thủng một lỗ bằng đầu que tăm. Nhìn dòng nước rỉ ra, bạn đoán vài phút là hết, hay vài ngày? Câu trả lời không tỉ lệ với số lít trong bồn — nó rẽ qua một căn bậc hai:
Nước phun ra khỏi lỗ nhanh đúng bằng nước rơi từ mặt thoáng xuống
Torricelli tìm ra năm 1643 một điều đến giờ vẫn hơi khó tin:
v = √(2gh) t_cạn = (A / (C·a)) · √(2h₀ / g)Ở đáy cột nước sâu 1 m, tia phun ra 4,43 m/s — gần 16 km/h, đúng bằng tốc độ hòn sỏi thả rơi tự do 1 m đạt được lúc chạm đất. Không phải trùng hợp: Bernoulli nói cả cột nước phía trên cũng đang đổi thế năng lấy động năng như hòn sỏi, chỉ khác là nó đi vòng qua áp suất rồi dồn hết cho nhúm nước chui qua lỗ.
Hệ quả kỳ quặc: công thức không chứa khối lượng riêng. Bồn thuỷ ngân nặng gấp 13,6 lần vẫn phun ra đúng 4,43 m/s và cạn cùng lúc với bồn nước cùng hình dạng — nặng hơn thì bị đẩy mạnh hơn, nhưng cũng ì hơn đúng chừng ấy.
Nửa nước cuối lâu gấp 2,4 lần nửa nước đầu
Mực nước tụt thì v tụt theo, nên bồn càng vơi càng chảy chậm — h(t) không phải đường thẳng mà là parabol chúc xuống. Kết quả đọc thẳng từ đồ thị bên phải: với lỗ ⌀5 mm và 1 m nước, 500 lít đầu mất 3,0 giờ, 500 lít sau mất 7,3 giờ. Tỉ số ấy là hằng số, không phụ thuộc bồn hay lỗ: đúng bằng 1 + √2 = 2,414.
Đẩy tiếp: 10 cm nước đầu tiên trôi đi trong 32 phút, 10 cm cuối cùng ngốn 3,3 giờ — gấp 6,2 lần cho cùng một lượng nước. Cái bồn trông sắp cạn đến nơi chính là lúc nó chảy chậm nhất, và bạn gặp cảnh ấy mỗi tối ở quy mô bồn tắm.
Lỗ 5 mm không phun ra tia 5 mm
Đây là chỗ công thức sách giáo khoa và cái bồn thật chia tay nhau. Nước lao về phía lỗ từ mọi hướng, và các dòng chảy hội tụ ấy không dừng đột ngột ở mép lỗ — chúng vẫn chụm tiếp một đoạn nữa. Tia thật vì thế thắt lại còn ⌀3,9 mm ngay sau miệng lỗ 5 mm, tiết diện chỉ còn 62%.
Con số 0,62 ấy không phải kinh nghiệm mò mẫm: lý thuyết dòng lý tưởng qua lỗ khoét sắc cạnh cho π/(π+2) = 0,611. Bỏ qua nó là hụt 38% lưu lượng, và thời gian cạn nhảy từ 6,4 giờ lên 10,3 giờ — sai 61%, lớn hơn mọi sai số bạn có thể phạm khi đo cái lỗ. Bo tròn mép cho dòng khỏi bẻ gấp thì hệ số leo lên ~0,98: lý do mọi vòi phun đều loe miệng thay vì cắt phẳng.
Lưu lượng qua lỗ ⌀5 mm ở mực nước 1 m là 3,24 lít mỗi phút — nghe như chuyện nhỏ, cho tới khi bạn nhớ phao tự động vẫn bơm bù suốt đêm để giữ mực nước: 4,7 m³ mỗi ngày chảy thẳng xuống mái, từ một cái lỗ bạn phải soi đèn mới thấy.
Đổi cỡ lỗ ăn đứt đổi cỡ bồn
Ba biến trong công thức không bình đẳng chút nào. Nới lỗ từ 5 lên 10 mm — diện tích gấp bốn — kéo 10,3 giờ xuống còn 2,6 giờ. Nhân đôi lượng nước bằng cách dâng mực lên 2 m thì chỉ tốn thêm hệ số √2: 14,6 giờ cho gấp đôi số lít, vì nước sâu hơn cũng đẩy mạnh hơn. Còn nới bồn ra 2 m² mà giữ nguyên 1 m nước thì thời gian tăng thẳng gấp đôi, 20,6 giờ: cột nước không cao thêm nên chẳng có gì bù lại.
Thử áp vào thứ bạn đo được sáng mai: bồn tắm 140 lít, đáy 0,7 m², lỗ xả ⌀40 mm. Công thức nói 3,0 phút. Bấm giờ đi.
Trường hợp biên: cái chai dốc ngược và ba con số cho cùng một lỗ
Chai nước 1,5 lít, thân ⌀8,5 cm — đáy chỉ 0,0057 m², dưới xa nấc nhỏ nhất của thanh trượt trên kia — miệng ⌀25 mm, cột nước 26,4 cm. Công thức cho 2,7 giây nếu coi cổ chai loe tròn là C ≈ 1, và 4,3 giây nếu vẫn giữ C = 0,62 của lỗ sắc cạnh. Dốc ngược chai thật, bấm đồng hồ: khoảng 18 giây — xa cả hai. Torricelli không sai; ông chỉ lặng lẽ giả định có ai đó lo phần không khí phía trên mặt thoáng.
Trong chai thì không ai lo cả. Nước ra được vài chục mililít, áp suất khoang trên tụt dưới khí quyển, và khí quyển đẩy ngược vào qua đúng cái miệng nước đang thoát. Hai dòng tranh nhau một ống nên chai chuyển sang chế độ “ợ” từng nhịp: mỗi nhịp một bóng khí chui lên, một ngụm nước rơi xuống, và phần lớn thời gian là chờ. Xoáy tròn chai trước khi dốc thì cái xoáy giữ một lõi khí thông suốt từ miệng lên tận đáy — hai dòng tách kênh, nước chảy liên tục, thời gian rơi về ~7 giây.
Cùng một lỗ, cùng một cột nước, ba con số. Cái bồn trên mái nhà bạn thì luôn khớp với công thức — không phải vì bồn ngoan hơn cái chai, mà vì nắp bồn hở.