Đêm Perseids tháng 8, có vệt chớp một cái đã tắt. Đêm Taurids tháng 11, có vệt lừ đừ trôi ngang trời như đèn máy bay. Bạn nhìn không sai — nhưng cả hai đều bị kẹp giữa hai con số cứng, và bạn dựng lại được cả hai bằng một phép cộng vectơ:
Trần đến từ một phép cộng, không phải từ một quan sát
Mọi công dân của hệ Mặt Trời đều chịu chung một ràng buộc: lúc đi ngang quỹ đạo Trái Đất, nó không được nhanh hơn tốc độ thoát ly của Mặt Trời tại chỗ ấy — nhanh hơn thì nó đã bay thẳng ra khỏi hệ từ lâu, chẳng còn quay lại gặp ai. Con số ấy bằng đúng √2 lần tốc độ quỹ đạo tròn: 42,12 km/s.
Trái Đất thì đang chạy 29,78 km/s. Cú gặp tệ nhất là đâm đối đầu — hai vectơ ngược chiều, độ lớn cộng thẳng: 71,9 km/s. Rồi tới lượt Trái Đất: rơi vào giếng hấp dẫn hành tinh, vật được cộng thêm đúng phần động năng ứng với tốc độ thoát ly — ở độ cao 100 km, nơi sao băng bắt đầu bốc cháy, là 11,10 km/s (tới mặt đất mới thành 11,19). Cộng động năng là cộng bình phương tốc độ, nên hai số vào công thức như hai cạnh góc vuông:
v_chạm = √[ (42,12 + 29,78)² + 11,10² ] = 72,76 km/s261 930 km/h, Mach 212, gấp chín lần rưỡi trạm ISS. Chưa vệt sáng nào vượt vạch đó — mà cũng không cần quan sát mới biết: nó rơi ra từ ba hằng số.
Mỗi trận mưa có tốc độ riêng, và nó không đổi
Kéo góc trong demo và lý do hiện ra: tốc độ va chạm không phải tính chất của hạt bụi mà là hình học quỹ đạo của thiên thể mẹ — thứ năm nào cũng thế. Leonids lao vào 71 km/s, sát trần, vì sao chổi Tempel–Tuttle quay ngược chiều quanh Mặt Trời nên gặp Trái Đất gần như đối đầu. Geminids chỉ 35: tiểu hành tinh 3200 Phaethon đi cùng chiều, cắt chéo quỹ đạo Trái Đất chứ không đâm vào. Taurids thong thả 27, vì quỹ đạo sao chổi Encke vừa cùng chiều vừa nằm sát mặt phẳng hoàng đạo, góc gặp nông hơn nữa. Cùng phép đọc vận tốc từ khoảng cách đã cho Halley 54,6 km/s lúc cận nhật, giờ cho bạn độ dài mũi tên cam.
Bình phương tốc độ định đoạt mọi thứ còn lại
Một hạt cỡ hạt cát vạch được đường sáng nhìn rõ từ cách 100 km — chuyện đó chỉ hợp lý khi nhớ động năng đi theo v². Một gram ở 59 km/s mang 1,74 MJ, tương đương 416 gram thuốc nổ TNT, đủ đun sôi 5,5 lít nước. Cũng gram ấy ở sàn 11,1 km/s chỉ còn 0,062 MJ — 15 gram TNT: dải tốc độ gói gọn trong hệ số 6,6, dải năng lượng rộng 43 lần.
Số hạng v² còn quyết định chỗ vệt sáng bắt đầu. Áp suất khí động dồn lên mặt trước hạt tỉ lệ ρv² — đúng số hạng đã định đoạt vận tốc tới hạn của người nhảy dù. Ở 90 km, không khí loãng còn 3,4 phần triệu kilôgam mỗi mét khối, vậy mà hạt Perseid vẫn hứng 11,9 kPa, hạt Draconid 20 km/s chỉ hứng 1,37 kPa — chênh 8,7 lần, đúng bằng (59/20)². Bụi sao chổi bền kéo cỡ vài kPa, nên hạt nhanh vỡ vụn và loé sáng cao hơn hẳn.
Trường hợp biên: cái sàn không ai chạm tới, cái trần gãy đúng một lần
Đẩy demo về góc 0° với tốc độ nhật tâm 29,78 km/s: thiên thạch bay cùng chiều cùng tốc độ với Trái Đất, tốc độ địa tâm bằng 0 — đáng lẽ nó lơ lửng cạnh ta chứ không thành sao băng. Công thức không cho phép: hấp dẫn Trái Đất vẫn tặng nguyên 11,10 km/s trước khi nó chạm lớp khí đầu tiên. Không tồn tại sao băng chậm, kể cả trên nguyên tắc.
Cái trần thì mềm hơn vẻ ngoài. Nó thở trước: quỹ đạo Trái Đất hơi dẹt, nên đầu tháng 1 lúc cận nhật trần dâng tới 73,61 km/s, đầu tháng 7 tụt về 71,93 — con số 72,76 là giá trị ở đúng 1 AU. Rồi nó gãy hẳn, đúng một kiểu: ràng buộc “không quá 42,12 km/s” chỉ ràng những vật thuộc hệ Mặt Trời. Vật thể liên sao ‘Oumuamua tới với tốc độ dư 26,33 km/s ở vô cùng, nên lúc ngang quỹ đạo Trái Đất nó chạy 49,67 km/s — thừa 7,5 so với ngưỡng. Kéo thanh nhật tâm tới đó rồi vặn góc về 180°: một mảnh của vị khách kiểu ấy cháy ở 80,23 km/s, một gram mang 3,22 MJ. Vì thế các mạng camera sao băng săn mọi con số trên 72,8 như săn chữ ký giả: một vạch sáng chưa đầy một giây, ghi bằng ba máy cách nhau vài chục cây số, đủ để nói hạt bụi vừa cháy trên đầu bạn không sinh ra ở hệ này.