Bắc một thanh gỗ 38×89 mm qua hai chồng gạch rồi đứng lên giữa: nó võng xuống thấy rõ. Xoay thanh 90 độ cho cạnh dài dựng đứng, đứng lại — gần như không nhúc nhích. Cùng thanh gỗ ấy, không thêm bớt một gram nào:
Chiều cao vào luỹ thừa ba, bề rộng vào luỹ thừa một
Khả năng chống uốn của một dầm nằm gọn trong một con số hình học của mặt cắt — mô-men quán tính tiết diện:
I = b·h³/12b là bề rộng, h là chiều cao đo theo phương của tải. Xoay thanh 38×89 đứng lên chỉ là hoán vị hai con số ấy, nhưng chúng ở hai bậc luỹ thừa khác nhau nên I nhảy từ 406 967 mm⁴ lên 2 232 402 mm⁴ — đúng (89/38)² = 5,49 lần.
Độ võng giữa nhịp của dầm kê hai đầu, tải đặt chính giữa, là
δ = F·L³/(48·E·I). I nằm dưới mẫu, nên cứng gấp 5,49 cũng là bớt võng
5,49. Nhịp 2,0 m, người 100 kg đứng giữa, gỗ thông E ≈ 10 GPa: đặt nằm
võng 40,2 mm, dựng đứng chỉ 7,3 mm. Muốn ván đặt nằm đuổi kịp phải
xếp chồng rời sáu tấm — năm tấm vẫn thua một tấm dựng đứng. (Chồng rời
thôi — dán keo thành một khối thì h cộng lại, và luỹ thừa ba đổi phe.)
Vì sao bậc ba? Uốn dầm là kéo giãn nửa trên, nén nửa dưới, quanh một đường trung hoà chạy giữa. Thớ gỗ cách trục đoạn y bị biến dạng tỉ lệ với y nên sinh ứng suất tỉ lệ với y — rồi ứng suất ấy lại tác dụng qua tay đòn y lần nữa. Mỗi thớ đóng góp theo y², cộng dọc chiều cao ra h³: đúng logic đòn bẩy, chỉ khác ở chỗ tay đòn được đếm hai lần.
Nửa giữa thân dầm gần như ngồi chơi
Hệ quả của y² gay gắt hơn vẻ ngoài. Trong tiết diện chữ nhật, nửa giữa của chiều cao — đúng một nửa toàn bộ vật liệu — chỉ gánh 12,5% độ cứng. Hai dải mỏng trên cùng và dưới cùng, gộp lại vỏn vẹn 20% chiều cao, gánh 48,8%.
Vậy thì vứt phần giữa đi — đó chính xác là dầm chữ I: hai bản cánh xa trục làm gần hết việc, bản bụng mỏng chỉ giữ khoảng cách giữa chúng và truyền lực cắt. Thép IPE 200 tiết diện 28,5 cm² có I = 1 943 cm⁴; cán đúng lượng thép ấy thành thanh vuông đặc cạnh 53,4 mm thì I rơi xuống 67,7 cm⁴ — kém 28,7 lần.
Ống tròn chơi cùng bài. Lấy thanh thép đặc Ø20 mm rồi cán đúng lượng thép ấy thành ống Ø40 (thành dày 2,68 mm): I tăng đúng 7,0 lần. Cán tiếp thành ống Ø60, thành 1,72 mm: 17 lần. Khung xe đạp, cột giàn giáo, xương cánh chim đều rỗng — không phải để tiết kiệm vật liệu, mà vì vật liệu đặt xa trục thì đáng giá hơn hẳn.
Bạn đã dùng mẹo này mà chưa gọi tên nó
Miếng pizza mềm oặt rủ xuống, gập ngang một cái là chống đầu lên được: cú gập chỉ tạo chừng 2 cm chiều cao tiết diện, mà h vào bậc ba là đã đủ. Thước cuộn thợ mộc có lưỡi cong lòng máng nên vươn ngang hơn hai mét mới gục — bóp dẹt lưỡi bằng ngón tay là nó gục ngay.
Cùng ý tưởng ấy đã định đoạt cuộc đua vật lăn — ở đó khối lượng đếm theo r², ở đây diện tích đếm theo y² — và cả hai quy về độ cứng k của Hooke: dầm kê hai đầu chính là chiếc lò xo có k = 48EI/L³.
Trường hợp biên: đẩy h lên mãi thì dầm bỏ cuộc theo hướng khác
Nếu h³ là tất cả, hãy dựng đứng tấm ván 10 × 300 mm trên nhịp 2 m. Công thức reo mừng: I = 22,5 triệu mm⁴, cứng gấp 900 lần chính nó đặt nằm, người 100 kg đứng giữa chỉ làm nó võng 0,73 mm.
Làm thật thì nó đổ nghiêng. Dầm hẹp và cao không thua bằng cách võng xuống — nó oằn lật ngang: tới một tải nào đó, vênh sang bên kèm vặn quanh trục dọc hoá ra “rẻ” hơn uốn tiếp trong mặt phẳng tải. Tải tới hạn:
P_th = 16,94 · √(E·I_y·G·J) / L²I_y là mô-men quán tính theo phương yếu — đúng cái phương bạn vừa bóp xuống còn 10 mm. Với tấm ván ấy, P_th ≈ 524 N, tức 53 kg: nó lật trước khi bạn kịp đứng hẳn lên. Thanh 38×89 trên nhịp đó phải tới 7 400 N (751 kg) mới lật, nên bạn chưa gặp chuyện này với nó.
Vì thế dầm chữ I không bao giờ đi một mình: sườn tăng cứng, giằng ngang giữa các dầm sàn, cánh trên neo vào bản sàn. Và vì thế ống Ø60 thành 1,72 mm là chỗ nên dừng — mỏng thêm thì thành ống nhăn cục bộ, đúng kiểu vỏ lon nước ngọt móp dưới ngón tay. Luỹ thừa ba là món quà hào phóng, nhưng chỉ trao cho ai giữ nổi tiết diện đứng thẳng.